Sono presentati esempi di calcoli delle trasformate di Laplace con spiegazioni passo dopo passo.
Se \( f(t) \) è una funzione a una sola parte tale che \( f(t) = 0 \) per \( t \lt 0 \), allora la trasformata di Laplace
\( F(s) \) è definita dall'integrale improprio
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
o la definizione più precisa per accomodare funzioni come la delta di Dirac \( \delta (t) \) come vedremo nell'esempio 5 qui sotto.
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
dove \( s \) è permesso essere un numero complesso per il quale l'integrale improprio sopra converge.
In quello che segue, \( j \) è l'unità immaginaria definita da \( j = \sqrt{-1} \)
Esempio 1
Trova la trasformata di Laplace della funzione \( f(t) \) definita da
\[ f(t) = 1 \]
Soluzione all'Esempio 1
Usa la definizione della trasformata di Laplace data sopra
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \)
\( f(t) = 1 \) sull'intervallo di integrazione \( [0, \infty ) \), quindi \( F(s) \) si semplifica a
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} dt \)
Calcola l'integrale improprio come segue
\( \displaystyle F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ -\dfrac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{T} \)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} - \dfrac{e^{-sT} - e^{0}}{s} \)
Se la parte reale di \( s \) è maggiore di zero, \( \lim_{T \to +\infty} e^{-sT} = 0\) e quindi l'integrale converge e \( F(S) \) è dato da
\[ F(S) = \dfrac{1}{s} \]
Esempio 2
Trova la trasformata di Laplace della funzione \( f(t) \) definita da
\[ f(t) = e^{at} \]
Soluzione all'Esempio 2
Usa la definizione data sopra
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st} dt \)
Semplifica gli esponenti
\( \displaystyle \quad \quad = \int_{0}^{+\infty} e^{(a-s)t} dt \)
Calcola l'integrale improprio
\( F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{a - s} e^{(a-s)t} \right]_{0}^{T} \)
\( \displaystyle \quad \quad = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(a-s)T} - e^{0}}{a-s} \)
Per la parte reale di \( s \) maggiore della parte reale di \( a\) , \( \lim_{T \to +\infty} e^{(a-s)T} = 0\) e quindi l'integrale converge e \( F(S) \) è dato da
\[ F(S) = \dfrac{1}{s - a} \]
Esempio 3
Trova la trasformata di Laplace della funzione \( f(t) \) definita da
\[ f(t) = \sin(\omega t) \]
Soluzione all'Esempio 3
Usa la definizione data sopra
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \sin(\
omega t) e^{-st} dt \)
Esprimi \( \sin(\omega t) \) in termini di esponenziali come segue
\( \sin(\omega t) = \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} \)
Sostituisci e calcola l'integrale
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} e^{-st} dt \)
Dividi l'integranda e riscrivi l'integrale come somma/differenza di integrali
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t} e^{- s t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{-j \omega t}e^{ - st}}{2 j} dt \)
Raggruppa gli esponenti e fattorizza \( t \)
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (j \omega - s) t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(j \omega + s) t}}{2 j} dt \)
Valuta l'integrale
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2j( j \omega - s)} e^{(j\omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{-2j( j \omega + s)} e^{ - (j\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T} - e^0}{2j( j \omega - s)} - \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega-s)T }- e^0}{-2j( j \omega + s)} \)
Se la parte reale di \( s \) è maggiore di zero , \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T}}{2j( j \omega - s)} = 0 \) e \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }}{-2j( j \omega + s)} = 0 \) quindi l'integrale converge e \( F(S) \) è dato da
\( \displaystyle F(s) = - \dfrac {1}{2j( j \omega - s)} - \dfrac {1}{2j( j \omega + s)} \)
Riduci al denominatore comune e semplifica per ottenere
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{\omega}{\omega^2+s^2} \]
Esempio 4
Trova la trasformata di Laplace della funzione \( f(t) = \cosh(\omega t) \).
Soluzione all'Esempio 4
Usa la definizione della trasformata di Laplace
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \cosh(\omega t) e^{-st} dt \)
Esprimi \( \cosh(\omega t) \) in termini di esponenziali come segue
\( \cosh(\omega t) = \dfrac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} \)
Sostituisci e calcola l'integrale
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{\omega t } + e^{-\omega t }}{2 } e^{-st} dt \)
Dividi l'integranda
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ \omega t} e^{ - s t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -\omega t}e^{ - s t}}{2} dt \)
Raggruppa gli esponenti e fattorizza \( t \)
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (\omega - s)t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(\omega + s)t}}{2} dt \)
Valuta gli integrali
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2( \omega - s)} e^{(\omega-s)t} \right]_{0}^{T} + \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{ - 2( \omega + s)} e^{ - (\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(\omega-s)T}-e^0}{2( \omega - s)} + \lim_{T \to +\infty} \dfrac{ e^{ - (\omega+s)T} - e^0 }{ - 2( \omega + s)} \)
Per la parte reale di \( s \) maggiore di \( \omega \) , \( \lim_{T \to +\infty} e^{(\omega-s)T} = 0 \) e \( \lim_{T \to +\infty} e^{-(\omega + s)T} = 0 \), quindi l'integrale converge e è dato da
\( \quad \quad \displaystyle F(s) = \dfrac{-1}{2(\omega - s)} + \dfrac{-1}{-2(\omega + s)} \)
e si semplifica a
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{s}{s^2 - \omega^2} \]
Esempio 5 Trasformata di Laplace delle Funzioni Delta di Dirac.
Trova la trasformata di Laplace delle funzioni delta: a) \( \delta (t) \) e b) \( \delta (t - a) , a \gt 0\)
Soluzione all'Esempio 5
Ricordiamo innanzitutto che gli integrali che coinvolgono le funzioni delta sono valutati come segue
\[
\displaystyle \int_{A}^{B} f(t) \delta(t - a) dt =
\begin{cases}
1 & \text{per} A \lt a \lt B \\
0 & \text{altrimenti} \\
\end{cases}
\]
a)
Per trovare la trasformata di Laplace di \( \delta (t) \), abbiamo bisogno della definizione precisa della trasformata di Laplace data da
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt \)
L'intervallo di integrazione parte da \( 0^{-} \) per accomodare la funzione delta \( \delta(t) \) nell'integrale come mostrato sopra.
Valuta l'integrale
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1 \)
b)
Per la funzione \( \delta (t - a) , a \gt 0\),
Poiché \( a \gt 0 \), la definizione della trasformata di Laplace dà
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t - a)\} = \int_{0}^{+\infty} \delta(t - a) e^{-st} dt = e^{-as} \)