Viene presentato il calcolo della potenza media nei circuiti CA con esempi e relative soluzioni. Sono inclusi anche problemi con soluzioni.
Consideriamo il circuito seguente
Sia l'impedenza \( Z \) scritta in forma polare come \( Z = |Z| \; e^{j\theta} \)
Sia \( v_i (t) = V_0 \; \cos(\omega t) \)
quindi
\( i (t) = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \cos (\omega t - \theta) \)
La potenza istantanea \( P(t) \) fornita all'impedenza \( Z \) è data da
\[ P(t) = i(t) \; v(t) = \dfrac{V_0^2}{|Z|} \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \]
La potenza media è definita da
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{1}{T} \int_0^T P(t) dt \]
Sostituendo \( P(t) \) con l'espressione trovata sopra e scrivendo la potenza media come
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \; dt \)
Espandere: \( \quad \cos ( \omega t - \theta) = \cos \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \sin \theta \) e sostituire in \( P_a \)
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; (\cos^2 \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta ) \; dt \)
Scrivere l'integrale come somma di due integrali: un integrale a sinistra e un secondo integrale a destra come segue:
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; cos^2 \omega t \; \cos \theta \; dt + \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt \)
Usando l'identità trigonometrica: \( \quad \sin(\omega t) \cos(\omega t) = \dfrac{1}{2} \sin(2 \omega t) \) per riscrivere l'integrale a destra come
\( \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta) \int_0^T \sin (2 \omega t ) \; dt \)
\( \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos (2 \omega t ) \right]_0^T \)
\( \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos 2 \omega T - \cos 0 \right] \)
Usare la formula \( \quad \omega = \dfrac{2 \pi}{T} \) per semplificare \( \cos 2 \omega T \)
\( \quad \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } [\cos (4 \pi) - \cos 0] \)
\( \quad \quad \quad \quad = 0 \)
Usare l'identità
trigonometrica \( \quad \cos^2 \omega t = \dfrac{1}{2} (\cos(2 \omega t )+1) \) nell'integrale a sinistra e scrivere
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; (\cos(2 \omega t )+1) \; dt \)
Scrivere l'integrale come somma di due integrali
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \cos \theta \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt + \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
In modo simile a quanto sopra, si può dimostrare che \( \displaystyle \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt = 0 \)
Quindi \( P_a \) è dato da
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
\( \displaystyle \quad = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \left[t\right]_0^T \)
\[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
Il termine \( \cos \theta \) nella formula sopra è chiamato il fattore di potenza.
Nota che, in generale, \( |Z| \) e \( \cos \theta \) dipendono dalla frequenza e quindi la potenza media dipende dalla frequenza della sorgente di tensione (o corrente).
Come mostrato sopra, i calcoli potrebbero essere piuttosto impegnativi e quindi è incluso un calcolatore di potenza per circuiti serie RLC per ulteriori esercitazioni e indagini.
Esempio 1
Nel circuito serie RLC mostrato di seguito, la tensione di sorgente è data da \( v_i = 5 \cos (\omega t) \), la capacità del condensatore \( C = 100 \; \mu F \), l'induttanza dell'induttore \( L = 100 \; mH\) e la resistenza del resistore \( R = 1000 \; \Omega \) e la frequenza \( f = 2000 \; Hertz \).
a) Trovare l'impedenza totale \( Z \) del circuito serie RLC e esprimerla in forma polare.
b) Trovare la potenza media consegnata all'impedenza totale \( Z \).
Soluzione all'Esempio 1
a)
Per un circuito serie RLC \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} ) \)
\( \omega = 2 \pi f = 4000 \pi \) rad/s
Sostituisci \( R \), \( L \), \( C \) e \( \omega \) con i loro valori numerici per ottenere
\( Z = 1000 + j\left(4000 \pi \times 100 \times 10^{-3} - \dfrac{1}{4000 \pi \times 100 \times 10^{-6}} \right) \)
\( Z = 1000 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi} \right) j \)
L'impedenza \( Z \) è scritta nella forma complessa standard \( Z = a + j b \)
In forma polare la stessa impedenza è scritta come \( Z = |Z| e^{j\theta} \)
dove \( \theta = \arctan \dfrac{b}{a} \) e \( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \)
Pertanto
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \)
\( |Z| = \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} \)
b)
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \)
Sostituisci \( V_0 \), \( |Z| \) e \( \theta \) con i loro valori numerici
\( \displaystyle P_a = \dfrac{5^2}{2 \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} } \cos \left( \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \right) \)
\( \quad \approx 0.00485 \; \text{Watts} \)
Esempio 2
Mostra che la potenza media consegnata a un circuito serie RLC, come quello nell'esempio 1, è massima per una frequenza \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \) e trova una formula per questa potenza massima.
Soluzione all'Esempio 2
a) Per un circuito serie RLC, l'impedenza totale è data da: \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
La frequenza angolare \( \omega \) è correlata alla frequenza \( f \) dalla formula: \( \omega = 2 \pi f = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
Sostituisci \( \omega \) con \( \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) in \( Z \) per ottenere
\( Z = R + j (\dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{1}{\dfrac{C}{\sqrt{LC}}}) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{\sqrt{LC}}{C} ) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{\sqrt L}{\sqrt C} - \dfrac{\sqrt{L}}{\sqrt C} ) \)
che si semplifica a
\( Z = R \)
Per la frequenza \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \), l'impedenza \( Z \) è reale e quindi
\( |Z| = R \)
e l'argomento \( \theta \) di \( Z \) è uguale a zero. Quindi \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) ha un valore massimo.
Per la frequenza \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \), il fattore di potenza \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) è massimo e
\( |Z| \) è minimo il che dà una potenza media con un valore massimo dato da
\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \)
Esempio 3
In un circuito serie RLC, come quello nell'esempio 1 sopra, la tensione di sorgente è data da \( v_i = 2 \cos ( \omega t) \), la capacità del condensatore \( C = 470 \mu \)F, l'induttanza dell'induttore \( L = 50 \)mH e la resistenza del resistore è \( R = 100 \; \Omega \).
a) Esprimere la potenza media \( P_a \) data dalla sua formula sopra e fare un grafico di \( P_a \) in funzione della frequenza angolare \( \omega \) e trovare la posizione del massimo di \( P_a \).
b) Verificare che la potenza è massima all'angolare \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) (o la frequenza \( f_r = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)) e viene data da \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \) come spiegato nell'esempio 2 sopra.
Soluzione all'Esempio 3
Per un circuito serie RLC \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
Modulo: \( |Z| = \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
Argomento: \( \theta = \arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \)
La potenza media \( P_a \) è data da
\[ P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
Sostituisci \( V_0 \) e \( |Z| \) con le loro espressioni
\( P_a (\omega ) = \dfrac{V_0^2}{2 \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \right) \)
Sostituisci \( R \), \( L \) e \( C \) con i loro valori per ottenere \( P_a \) come funzione di \( \omega \)
\( P_a (\omega ) = \dfrac{2}{ \sqrt { 100^2 + \left( 50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{470 \times 10^{-6}\; \omega } \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{ 470 \times 10^{-6} \; \omega }} {100} \right) \right) \)
Il grafico di \( P_a (\omega ) \) contro \( \omega \) è mostrato di seguito.
È stato utilizzato il calcolatore grafico geogebra gratuito per graficare e individuare il massimo come mostrato nel grafico.
b)
Nell'esempio 2 sopra, è stato spiegato che la potenza media è massima a
\( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{ \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 470 \times 10^{-6} }} \approx 206.28\) rad/s
La potenza massima è data da: \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} = \dfrac{2^2}{2 \times 100} = 0.02\) Watts
Entrambi i valori calcolati di \( \omega_r \) e \( P_a max \) calcolati sono uguali ai valori trovati graficamente sopra.