Un calcolatore per calcolare l'impedenza equivalente di una resistenza, un condensatore e un induttore in parallelo. Il calcolatore fornisce l'impedenza come un numero complesso nella forma standard, il suo modulo e l'argomento che possono essere utilizzati per scrivere l'impedenza in forme esponenziale e polari.
\( \) \( \) \( \)
Iniziamo dando le formule utilizzate nel calcolatore del circuito RLC in parallelo e la dimostrazione di queste formule è presentata nella parte inferiore della pagina.
Sia
\( Z_R = R \) , \( Z_C = \dfrac{1}{j \omega C} \) , \( Z_L = j \omega L\)
Applica la regola delle impedenze di circuiti in parallelo per trovare l'impedenza equivalente \( Z \) come segue
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_R} + \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L} \)
\( = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega C}} + \dfrac{1}{j \omega L} \)
Sia
\( X_L = \omega L \) e \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)
e riscrivi quanto sopra come
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{X_C}{j}} + \dfrac{1}{j X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{j}{{X_C}} - j \dfrac{1}{ X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + j (\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} ) \)
Il Modulo \( \rho \) del numero complesso sopra è dato da
\( \rho = \sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2} \)
e il suo argomento \( \alpha \) è dato da
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L}}{\dfrac{1}{R}} \right) \)
riorganizza
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{R}{X_C}-\dfrac{R}{X_L} \right) \)
Ora usiamo la forma esponenziale del numero complesso per scrivere
\( \dfrac{1}{Z} = \rho e^{j\alpha} \)
Scriviamo ora l'impedenza equivalente \( Z \) come un numero complesso in forma esponenziale prendendo il reciproco di quanto sopra
\( Z = \dfrac{1}{\rho} e^{-j \alpha} \)
Scrivendo \( Z \) come \( Z = r e^{j\theta} \), otteniamo
il modulo di \( Z \) come
\( r = 1/\rho = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
e l'argomento di \( Z \) come
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( f = 1.5 \; kHz \) , \( C = 15 \; \mu F \) , \( L = 20 \; mH \) e \( R = 50 \; \Omega \)
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 1.5 \times 10^3 \times 20 10^{-3 } = 188.50 \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{ 2\pi f C} = \dfrac{1}{ 2\pi 1.5 \times 10^3 \times 15 10^{-6}} = 7.07\)
Modulo: \( \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1
}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{50}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{7.07}} - \dfrac{1}{ 188.50} \right)^2}} \)
\( = 7.27 \)
Argomento: \( \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( = \arctan \left(\dfrac{50}{188.50}-\dfrac{50}{7.07} \right) \)
\( = - 81.64^{\circ} \)
Puoi inserire i valori dati nel calcolatore e controllare i risultati.