Die Untersuchung der Reaktion von Hochpass-RC-Schaltungen auf ein Rechtecksignal; numerische Beispiele mit Spannungsverläufen werden präsentiert.
Ein Online-Rechner und Grafiker zur Reaktion der Hochpass-RC-Schaltung auf ein Rechtecksignal ist ebenfalls enthalten.
\( \)\( \)\( \)
Aufgabe mit Lösung
Finden und zeichnen Sie die Spannungen über dem Kondensator \( R \) in Abhängigkeit von der Zeit in der Hochpass-\( RC \)-Schaltung unten
Abb.1 - Hochpass-RC-Schaltung
gegeben, dass die Eingangsspannung \( v_i(t) \) ein Rechtecksignal ist, wie im untenstehenden Diagramm gezeigt.
Abb.2 - Rechtecksignal als Eingang zur Hochpass-RC-SchaltungLösung zur Aufgabe
In der Untersuchung der Reaktion der Tiefpass-RC-Schaltung auf ein Rechtecksignal wurde festgestellt, dass die Spannung über dem Kondensator durch folgendes gegeben ist:
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
wenn die Eingangsspannung \( v_i(t) \) ein Rechtecksignal ist, das durch eine Summe positiver und negativer Sprungfunktionen der Form
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
In dieser Untersuchung müssen wir die Spannung \( v_R(t) \) über dem Widerstand finden, die gegeben ist durch
\( v_R(t) = v_i(t) - v_C(t)\)
Wenn \( v_i(t) \) und \( v_C(t) \) durch ihre obigen Ausdrücke ersetzt werden, können wir \( v_R(t) \) wie folgt vereinfachen:
\( \displaystyle v_R(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\ \quad \quad \quad
- u(t-(n+1/2)T) \; \left(e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
Numerische Anwendungen
Nehmen wir \( V_0 = 10 \) V, \( R = 200 \; \Omega \) und \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (Sekunden)
Im Folgenden sind die Diagramme der Eingangsgröße \(v_i(t) \) als Rechtecksignal, das oben als Summe verschobener Sprungfunktionen definiert ist, und der Spannung \( v_R(t) \) über dem Widerstand, ebenfalls oben angegeben, gezeigt. Es gibt vier Diagramme für verschiedene Werte der Periode \( T \) des Eingangssignals.
a) \( T = 15 RC = 15 \) s
Abb.3 - Diagramme des Eingangssignals \( v_i(t) \) und der Spannung \( v_R(t) \) über dem Widerstand für eine Periode T = 15 RC
b) \( T = 10 RC = 10 \) s
Abb.4 - Diagramme des Eingangssignals \( v_i(t) \) und der Spannung \( v_R(t) \) über dem Widerstand für eine Periode T = 10 RC
c) \( T = 5 RC = 5 \) s
Abb.5 - Diagramme des Eingangssignals \( v_i(t) \) und der Spannung \( v_R(t) \) über dem Widerstand für eine Periode T = 5 RC
d) \( T = 2 RC = 2 \) s
Abb.6 - Diagramme des Eingangssignals \( v_i(t) \) und der Spannung \( v_R(t) \) über dem Widerstand für eine Periode T = 2 RC
