RC-Schaltungsantwort auf eine Stufen-Spannung

Inhaltsverzeichnis

Die Verwendung von Laplace-Transformationen zur Untersuchung der Reaktion von RC-Schaltungen auf schnelle Änderungen der Eingangsspannung und Ströme wird in Form von Beispielen mit detaillierten Lösungen vorgestellt. Wir zeigen auch, wie man die Lade- und Entladevorgänge eines Kondensators mathematisch modelliert. Ein Online-Rechner zur Berechnung von Spannungen und Strömen ist ebenfalls enthalten.

Probleme mit Lösungen

Problem 1 Aufladen eines Kondensators
Finden und zeichnen Sie die Spannungen über dem Kondensator \( C \) und dem Widerstand \( R \) sowie den Strom \( i \) als Funktionen der Zeit in der folgenden Schaltung, wobei die Eingangsspannung \( v_i = V_0 \; u(t) \) ist, wobei \( V_0 = 10 \) V eine Konstante ist und \( u(t) \) die Einheitssprungfunktion ist, die Widerstände \( R = 200 \; \Omega \) und \( C = 5 \) mF. Zum Zeitpunkt \( t = 0 \) ist die Spannung über dem Kondensator gleich null.

Lösung zu Problem 1
Verwenden Sie das Kirchhoffsche Gesetz der Spannungen, um zu schreiben
\( v_i(t) - v_R(t) - v_C(t) = 0 \)       (I)
Verwenden Sie das Ohmsche Gesetz, um zu schreiben
\( v_R(t) = R \; i(t) \)
Die Beziehung zwischen der Spannung und dem Ladestrom eines Kondensators wird durch
\( \displaystyle v_C (t) = \dfrac{1}{C} \int i dt \)
gegeben.
Nehmen Sie die Ableitung auf beiden Seiten der obigen Gleichung und schreiben Sie
\( i (t) = C \dfrac{d v_C}{dt} \)
\(v_R (t) = R i (t) = R C \dfrac{v_C}{dt} \)
Daher kann Gleichung (I) geschrieben werden als
\( v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) = 0 \)
Nehmen Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten der obigen Gleichung vor
\( \mathscr{L} \left \{ v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Verwenden Sie die Linearitätseigenschaft der Laplace-Transformation und die Tatsache, dass \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \), um die obige Gleichung als
\( \mathscr{L} \left\{ v_i (t) \right\} - R\;C \mathscr{L} \left \{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} - \mathscr{L} \left\{ v_C (t) \right \} = 0 \)       (II)
Setzen Sie \( \mathscr{L}\{ v_i (t) \} = V_i(s) \) und \( \mathscr{L}\{ v_C (t) \} = V_C(s) \)
Verwenden Sie die Eigenschaft der Ableitung bezüglich der Zeit \( t \) (siehe Formeln und Eigenschaften der Laplace-Transformation), um (II) umzuschreiben:
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} = s V_C(s) - v_C(0) \)
Da zum Zeitpunkt \( t = 0 \) die Spannung über dem Kondensator gleich null ist, haben wir \( v_C(0) = 0 \) . Die Gleichung (II) kann daher geschrieben werden als:
\( V_i(s) - R C s V_C(s) - V_C(s) = 0 \)
HINWEIS: Wir haben unsere ursprüngliche Differentialgleichung von der Zeitdomäne \( t \) in die \( s \)-Domäne transformiert.
Die Laplace-Transformation \( V_i(s) \) von \( v_i(t) = V_0 u(t) \) ist gegeben durch (siehe Formeln und Eigenschaften der Laplace-Transformation)
\( V_i(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
Die Gleichung in der \( s \)-Domäne wird dann
\( R C s V_C(s) + V_C(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
Faktorisiere \( V_C(s) \) auf der linken Seite:
\( V_C(s) (R\;C\;s + 1) = \dfrac{V_0}{s} \)
Lösen Sie nach \( V_C(s) \) auf:
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} \)
Zerlegen Sie den obigen Ausdruck in Partialbrüche, um den Ausdruck wie folgt umzuschreiben (siehe Anhang A am Ende der Seite für detaillierte Berechnungen).
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Teilen Sie Zähler und Nenner im zweiten Term auf der rechten Seite der obigen Gleichung durch \( R\;C \) und faktorisiere \( V_0 \) heraus, um \( V_C(s) \) wie folgt umzuschreiben:
\( V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Wir verwenden nun die Formeln und Eigenschaften der Laplace-Transformation, um die inverse Laplace-Transformation \( v_C(t) \) (Zeitdomäne) von \( V_C(s) \) zu berechnen.
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} = u(t) \)
und
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} = u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Daher:
\( v_C(t) = V_0 (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) u(t) \)
Die Spannung \( v_R(t) \) über dem Widerstand ist gegeben durch:
\( v_R (t) = v_i - v_C = V_0 u(t) - V_0 u(t) (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) = V_0 e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
Der Strom \( i(t) \) ist gegeben durch:
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
Hinweis: Die Spannung \( v_C(t) \) über dem Kondensator steigt mit der Zeit gemäß einer natürlichen Exponentialfunktion \( e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \), daher wird der Parameter \( R\;C \) als Zeitkonstante bezeichnet.

Numerische Anwendungen
Setze \( V_0 = 10 \) V, \( R = 200 \; \Omega \) und \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (Sekunden)
\( v_C(t) = 10 (1 - e^{-t} ) u(t) \) V
\( v_R (t) = 10 e^{-t} u(t) \) V
\( i(t) = 0.05 e^{-t} u(t) \) A
Die Diagramme des Stroms und der Spannungen sind unten gezeigt.
Beachten Sie Folgendes bei \( t = 0 \):
1) Da der Kondensator vor \( t = 0 \) nicht geladen war, ist die Spannung \( v_C(0) \) über dem Kondensator gleich null und der Kondensator verhält sich wie ein Kurzschluss bei \( t = 0 \). \( v_C(t) \) beginnt zu steigen, wenn \( t \) zunimmt, und dies erklärt den Ladevorgang des Kondensators.
2) Die Spannung \( v_R (0) \) über dem Widerstand ist gleich der Quellenspannung von \( 10 \) V und beginnt abzunehmen, wenn \( t \) zunimmt.
3) Der Strom \( i(0) \) ist maximal bei \( \dfrac{v_i(0) - v_C(0)}{R} = \dfrac{10 - 0}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A und nimmt ab, wenn \( t \) zunimmt.
Beachten Sie Folgendes bei großem \( t \):
\( v_C(t) \) ist fast gleich \( v_i(t) \), was bedeutet, dass der Kondensator vollständig aufgeladen ist. Der Strom \( i(t) \) ist fast null, da sich der Kondensator wie ein offener Stromkreis verhält.

Problem 2 Entladen eines Kondensators
Der Kondensator \( C \) in der folgenden Schaltung ist anfänglich auf \( V_0 = 10 \) Volt geladen. Zum Zeitpunkt \( t = 0 \) wird der Schalter S in der Schaltung geschlossen. Finden und zeichnen Sie die Spannungen über dem Kondensator \( C \) und dem Widerstand \( R \) sowie den Strom \( i \) als Funktionen der Zeit \( t \).

Lösung zu Problem 2
Verwenden Sie das Kirchhoffsche Gesetz der Spannungen, um zu schreiben
\( v_C(t) - v_R (t) = 0 \)       (I)
Verwenden Sie das Ohmsche Gesetz, um zu schreiben
\( v_R (t) = R \; i (t) \)
Die Beziehung zwischen der Spannung über einem Kondensator und dem Strom durch ihn ist wie folgt:
Sei \( Q_0 \) die anfängliche Ladung des Kondensators zum Zeitpunkt \(t=0\). Da sich der Kondensator entlädt, wird die Gesamtladung abnehmen und wie folgt geschrieben:
\( \displaystyle Q(t) = Q_0 - \int_0^{t} i(\tau) d\tau \)
Die Spannung \( v_C(t) \) über dem Kondensator ist gegeben durch:
\( v_C(t) = \dfrac{Q(t)}{C} = \dfrac{Q_0}{C} - \dfrac{ \displaystyle \int i dt \ }{C } \)
Nehmen Sie die Ableitung der linken und der rechten Seite:
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d (Q_0 - \displaystyle \int i dt) }{d t } \)
Verwenden Sie die Linearität der Ableitung, um zu schreiben:
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d Q_0}{dt} - \dfrac{1}{C} \dfrac{d(\displaystyle \int i dt) }{d t } \)
\( Q_0 \) ist eine Konstante und seine Ableitung ist gleich null, daher vereinfacht sich das obige zu:
\( \dfrac{d v_C}{d t } = - \dfrac{1}{C} i \)
was geschrieben werden kann als:
\( i(t) = - C \; \dfrac{v_C}{dt} \)     HINWEIS das Minuszeichen ist darauf zurückzuführen, dass sich der Kondensator entlädt.
Ersetzen Sie \( i(t) \) in \( v_R (t) \) oben, um zu erhalten:
\(v_R (t) = R \; i (t) = - R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \)
Daher kann Gleichung (I) geschrieben werden als:
\( v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} = 0 \)
Nehmen Sie die Laplace-Transformation auf beiden Seiten der obigen Gleichung vor:
\( \mathscr{L} \left \{ v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Verwenden Sie die Linearitätseigenschaft der Laplace-Transformation und die Tatsache, dass \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \), um die obige Gleichung wie folgt umzuschreiben:
\( \mathscr{L} \left\{ v_C(t) \right \} + R\;C\;\mathscr{L} \left\{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = 0 \)       (II)
Setzen Sie \( \mathscr{L}\{ v_C(t) \} = V_C(s) \)
Verwenden Sie die Eigenschaft der Ableitung bezüglich der Zeit \( t \) (siehe Formeln und Eigenschaften der Laplace-Transformation), um zu schreiben:
\( \mathscr{L} \left \{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = s \; V_C(s) - v_C(0) \)
Da zum Zeitpunkt \( t = 0 \) der Kondensator auf \( V_0 \) geladen ist, haben wir \( v_C(0) = V_0 \). Und durch Einsetzen in Gleichung (II) erhalten wir:
\( V_C(s) + R \; C \; ( s \; V_C(s) - V_0 ) = 0 \)
Schreiben Sie die obige Gleichung um als:
\( V_C(s) \; (R\;C\;s + 1) = R \; C \; V_0 \)
Lösen Sie nach \( V_C(s)\) auf, um zu erhalten:
\( V_C(s) = \dfrac{R \; C \; V_0}{R \; C \; s + 1} \)
Teilen Sie Zähler und Nenner durch \( R \; C \):
\( V_C(s) = \dfrac{ V_0}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \)
\( v_C(t) \) wird durch die inverse Laplace-Transformation gegeben; daher:
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
Wir verwenden nun die Formeln und Eigenschaften der Laplace-Transformation, um die inverse Laplace-Transformation \( v_C(t) \) (Zeitdomäne) von \( V_C(s) \) zu berechnen:
Daher:
\( v_C(t) = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Die Spannung \( v_R(t) \) über dem Widerstand ist gegeben durch:
\( v_R (t) = v_C = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Der Strom \( i(t) \) ist gegeben durch:
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Numerische Anwendungen: \( V_0 = 10 \) V, \( R = 200 \; \Omega \) und \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (Sekunden)
\( v_C(t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( v_R (t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( i(t) = 0.05 \; e^{-t} \) A
Die Diagramme des Stroms und der Spannungen sind unten gezeigt.
Beachten Sie Folgendes bei \( t = 0 \):
1) Da der Kondensator vor \( t = 0 \) auf die Spannung \( v_C(0) = 10 \) Volt geladen war, beginnt er zu sinken, wenn \( t \) zunimmt, und dies erklärt den Entladevorgang des Kondensators.
2) Bei \( t = 0 \); \( v_R (0) = v_C(0) = 10 \).
3) Bei \( t = 0 \) ist der Strom \( i(0) \) maximal, gegeben durch \( i(0) = \dfrac{v_R(0)}{R} = \dfrac{10}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A und beginnt abzunehmen, wenn \( t \) zunimmt.
Beachten Sie Folgendes bei großem \( t \):
Bei großen Werten von \( t \) sind alle Spannungen und der Strom fast gleich null, da der Kondensator vollständig entladen ist und die im Kondensator gespeicherte Energie als Wärme im Widerstand \( R \) dissipiert wird.

Anhang

Anhang A

Zerlegen in Partialbrüche; Finden Sie \( A \) und \( B \) so dass
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{R\;C s + 1} \)
Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Gleichung mit \( s(R\;C s + 1) \) und vereinfachen Sie:
\( V_0 = A(R\;C\;s + 1) + B s \)      (1)
Setzen Sie \( s = 0 \) in Gleichung (1), um zu erhalten:
\( A = V_0 \)
Setzen Sie \( A = V_0 \) und \( s = 1 \) in Gleichung (1):
\( V_0 = V_0 \times (R\;C \times 1 + 1) + B \times 1 \)
Vereinfachen Sie und lösen Sie nach \( B \) auf:
\( B = - R\;C V_0 \)
Daher die Zerlegung in Partialbrüche:
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)

Weitere Referenzen und Links