Dirac-Delta- und Heaviside-Einheitssprungfunktionen - Beispiele mit Lösungen

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Die Dirac-Delta-Funktion \( \delta(t) \) und die Heaviside-Einheitssprungfunktion \( u(t) \) werden zusammen mit Beispielen und detaillierten Lösungen vorgestellt. Diese beiden Funktionen werden in der mathematischen Modellierung verschiedener Ingenieurssysteme verwendet. Einige Beispiele zur Modellierung der Reaktionen von elektrischen Schaltungen auf Einheitssprungspannungen sind enthalten.

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Heaviside-Einheitssprungfunktion \( u(t) \)

Die Einheitssprungfunktion Heaviside, geschrieben als \( u(t) \) (auch Heaviside-Funktion genannt und als \( H(t) \) geschrieben), ist wie folgt definiert:
\( u(t) = \begin{cases} 0 & \text{für } t \lt 0 \\ 1 & \text{für } t \ge 0 \\ \end{cases} \)

Abb.1 - Graph der Einheitssprungfunktion

was daher zu
\( u(t - t_0) = \begin{cases} 0, & \text{für } t \lt t_0 \\ 1, & \text{für } t \ge t_0 \\ \end{cases} \)
Eine der Hauptanwendungen der Sprungfunktion besteht darin, beispielsweise einen Schalter zu modellieren.
Angenommen, wir müssen eine Spannung \( v(t) \) zu einem Zeitpunkt \( t = t_0 \) auf eine Schaltung anwenden. Die Spannung als Funktion der Zeit kann durch \( v(t) u(t-t_0) \) dargestellt werden, sodass
\( v(t) u(t-t_0) \begin{cases} v(t) &\mbox{wenn } t \ge t_0 \\ 0 & \mbox{wenn } t \lt t_0 \end{cases} \)
Ein Beispiel ist das Diagramm von \( t^2 u(t-1) \), das unten gezeigt wird.

Abb.2 - Einheitssprungfunktion zur Modellierung eines Schalters

Additionen und Subtraktionen von Einheitssprungfunktionen können zur Modellierung von Impulsen verwendet werden; ein Beispiel wird unten gezeigt.

Abb.3 - Einheitssprungfunktion zur Modellierung eines Impulses

Dirac-Delta-Funktion \( \delta(t) \)

Die Dirac-Delta-Funktion ist durch das Integral definiert
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{t} \delta (\tau - t_0) d\tau = u(t - t_0) \)
Obwohl die Einheitssprungfunktion \( u(t - t_0) \) bei \( t = t_0 \) diskontinuierlich ist, können wir die Ableitung der Einheitssprungfunktion durch die Dirac-Delta-Funktion wie folgt definieren:
\( \dfrac{d u(t - t_0)}{dt} = \delta (t - t_0) \)
Diese kann bei \( t = t_0 \) einen "sehr großen" Wert annehmen, weshalb die Dirac-Delta-Funktion auch als
\( \delta(t - t_0) = \begin{cases} \infty & \text{für } t = t_0 \\ 0 & \text{für } t \ne t_0 \\ \end{cases} \)
Die Dirac-Delta-Funktion definiert die Ableitung an einer endlichen Diskontinuität; ein Beispiel wird unten gezeigt.

Abb.4 - Graphische Beziehung zwischen Dirac-Delta-Funktion und Einheitssprungfunktion

Die Dirac-Delta-Funktion hat folgende Eigenschaften:

\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = f(t_0) \) wenn \( a \lt t_0 \lt b \) ( oder \( t_0 \) innerhalb des Integrationsintervalls liegt ).
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = 0 \) wenn \( t_0 \gt b \) oder \( t_0 \lt a \) ( oder \( t_0 \) außerhalb des Integrationsintervalls liegt ).
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t) dt = 1 \)
\( \delta (t - t_0) = \delta (t_0 - t) \) weil \( \delta(t) \) eine gerade Funktion ist
\( f(t) \delta (t - t_0) = f(t_0) \delta (t - t_0) \)
\( \displaystyle \delta(t) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{\infty}^{\infty} e^{ipt} dp\)
\( \delta( k t) = \dfrac{1}{|k|} \delta(t) \) für \( k \ne 0 \)

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1
Bewerten Sie die Integrale:
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt \)      b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt \)      c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt \)      d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt \)      e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt \)
Lösung zu Beispiel 1

a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \)      Anwendung der Eigenschaft 1 oben, da \( -\infty \lt 0 \lt \infty \)

b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \)      Anwendung der Eigenschaft 1 oben, da \( -\infty \lt 4 \lt \infty \)

c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\)      Anwendung der Eigenschaft 1 oben, da \( 0^- \lt 0 \lt \infty \)

d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \)      Anwendung der Eigenschaft 2 oben, da \( - 3 \lt 0 \) oder \( -3 \) außerhalb des Integrationsintervalls liegt.

e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \)      Anwendung der Eigenschaft 2 oben, da \( 0 \lt 0^+ \) oder \( 0 \) außerhalb des Integrationsintervalls liegt.

Beispiel 2
Bewerten Sie die Ableitungen zu:
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \) b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)
Lösung zu Beispiel 2
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)

Beispiel 3
Verwenden Sie die Sprungfunktion \( u(t) \), um Gleichungen für die unten gezeigten Diagramme und deren Ableitungen zu schreiben.
a) Graph 1 Beispiel 3 Sprungfunktionen b) Graph 2 Beispiel 3 Sprungfunktionen c) Graph 3 Beispiel 3 Sprungfunktionen d) Graph 4 Beispiel 3 Sprungfunktionen
Lösung zu Beispiel 3
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \) Ableitung von Graph 1 Beispiel 3 Sprungfunktionen
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \) Ableitung von Graph 2 Beispiel 3 Sprungfunktionen
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \) Ableitung von Graph 3 Beispiel 3 Sprungfunktionen
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\) Ableitung von Graph 4 Beispiel 3 Sprungfunktionen

Weitere Referenzen und Links

Heaviside-Sprungfunktion