Die im Rahmen der Studie Sprungantwort der RLC-Reihenschaltung entwickelten Formeln werden hier vorgestellt, da sie im Rechner verwendet werden.
In den folgenden Formeln ist \( \alpha = \dfrac{R}{2 L} \)
Wenn eine Spannungssprungfunktion der Form \( V_0 u(t) \) vorliegt, müssen wir drei mögliche Fälle betrachten:
Fall 1: Die Schaltung ist unterkritisch gedämpft, wenn \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)
Sei \( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \)
Der Strom und die Spannungen werden durch folgende Formeln gegeben:
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) ) e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
Fall 2: Die Schaltung ist überkritisch gedämpft, wenn \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)
Sei \( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) und schreibe \( I(s) \) um.
Der Strom und die Spannungen werden durch folgende Formeln gegeben:
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)
Fall 3: Die Schaltung ist kritisch gedämpft, wenn \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)
Der Strom und die Spannungen werden durch folgende Formeln gegeben:
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = V_0 e^{- \alpha t} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)