Die allgemeine Übertragungsfunktion von zwei kaskadierten Schaltungen wird vorgestellt und ihre Anwendung auf verschiedene Schaltungen mit Beispielen und deren Lösungen erklärt.
Probleme und deren Lösungen sind ebenfalls enthalten. Probleme und deren Lösungen sind ebenfalls enthalten.
A - Übertragungsfunktion von Zwei Kaskadierten Schaltungen Formel
Wir betrachten die unten gezeigten zwei kaskadierten Schaltungen und finden die Übertragungsfunktion \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) in Bezug auf die vier \( Z_1, Z_2, Z_3 \) und \( Z_4 \)
Allgemeine Zwei Kaskadierte Schaltungen
Wir verwenden Kirchhoffs Strom- und Spannungs- und Ohmsche Gesetze, um die Gleichungen zu schreiben:
\( \quad I = I_1 + I_2 \quad (I)\) Kirchhoffs Stromgesetz am oberen Knoten
\( \quad V_{in} = Z_1 I + Z_2 I_2 \quad (II)\) Kirchhoffs Spannungsregel im geschlossenen Kreis links
\( \quad Z_2 I_2 = (Z_3 + Z_4) I_1 \quad (III)\) Kirchhoffs Spannungsregel im geschlossenen Kreis rechts
\( \quad V_{out} = Z_4 I_1 \quad (IV)\) Ohmsches Gesetz für die Spannung über \( R_2 \)
Verwenden Sie die Gleichungen (II) und (IV), um die Übertragungsfunktion \( H( s ) \) wie folgt zu schreiben:
\( \quad H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 I + Z_2 I_2} \)
Verwenden Sie die Gleichung (I), um \( I \) durch \( I_1 + I_2 \) in \( H(s)\) oben zu ersetzen.
\( \quad H(s) = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 ( I_1 + I_2) + Z_2 I_2} \)
Teilen Sie den Zähler und Nenner durch \( I_1\), vereinfachen Sie und schreiben Sie neu:
\( \quad H(s) = \dfrac{Z_4}{Z_1 \left( 1+ \dfrac{I_2}{I_1} \right) + Z_2 \dfrac{I_2}{I_1}} \quad (V) \)
Verwenden Sie die Gleichung (III), um zu erhalten:
\( \quad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{Z_3 + Z_4}{Z_2} \)
Ersetzen Sie \( \dfrac{I_2}{I_1} \) durch das Obige in \( (IV) \) und ordnen Sie neu, um \( H(s) \) zu erhalten.
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \quad (I) \]
B - Anwendung der Übertragungsfunktion von Zwei Kaskadierten Schaltungen
Es wird nun gezeigt, wie die obige Formel in jeder Schaltung verwendet werden kann, die als zwei-kaskadierte Schaltung identifiziert werden kann.
Beispiel 1
Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich der unten stehenden Schaltung.
Lösung zu Beispiel 1
Vergleichen Sie die gegebene Schaltung mit der allgemeineren Schaltung oben, wir können schreiben:
\( \quad Z_1 = R_1 \), \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = 0 \) und \( Z_4 = L s \)
wobei \( s = j \omega \) und \( \omega \) die Kreisfrequenz ist.
Wir setzen nun die Impedanzen \( Z_1, Z_2, Z_3 \) und \( Z_4 \) in die oben erhaltene allgemeine Formel ein, um zu schreiben:
\( \quad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
Ersetzen Sie \( s = j \omega \) und schreiben Sie:
\( \quad H(\omega) = \dfrac{j \; R_2 \; L \; \omega\; s }{j \; (R_1 + R_2) \; \omega \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
Beispiel 2
Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich der unten stehenden Schaltung.
Lösung zu Beispiel 2
Vergleichen Sie die gegebene Schaltung mit der allgemeineren Schaltung oben, wir können schreiben:
\( \quad Z_1 = R_1 \), \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = \dfrac{1}{C s} \) und \( Z_4 = L s \)
wobei \( s = j \omega \) und \( \omega \) die Kreisfrequenz ist.
Wir setzen nun die Impedanzen \( Z_1, Z_2, Z_3 \) und \( Z_4 \) in die oben erhaltene allgemeine Formel ein, um zu schreiben:
\( \quad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) (\; L\;s + \dfrac{1}{C s}) + R_1 \; R_2} \)
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( C s \) und vereinfachen Sie:
\( \quad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; C \; s^2 }{(R_1 + R_2) C \; L\;s^2 + R_1 \; R_2 \; C s + R_1 + R_2} \)
Ersetzen Sie \( s = j \omega \) und schreiben Sie:
\( \quad H(\omega) = \dfrac{- R_2 \; L \; C \; \omega^2 }{ - (R_1 + R_2) C \; L\;\omega^2 + j \; R_1 \; R_2 \; C \omega + R_1 + R_2} \)
Beispiel 3
Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich der unten stehenden Schaltung und zeichnen Sie deren Betrag und Argument (oder Phase).
Lösung zu Beispiel 3
Verwenden Sie die Formel in (I) oben:
\( \quad H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \)
Wir berechnen nun die Impedanzen \( Z_1, Z_2, Z_3 \) und \( Z_4 \) unter Verwendung der angegebenen numerischen Werte in der Schaltung in Teil b).
\( \quad Z_1 = 100 \)
,
\( \quad Z_2 = 0.1 s \), \( Z_3 = 200 \), \( Z_4 = 0.3 s \)
Wir setzen nun ein, um zu erhalten:
\( \quad H(s) = \dfrac{0.03 \; s^2}{(100 + 0.1 \; s)(0.3 s + 200 ) + 10 \; s} \)
Vereinfachen Sie:
\( \quad H(s) = \dfrac{3 \; s^2}{3 \; s^2 + 6000 \; s + 2000000} \)
Ersetzen Sie \( s \) durch \( j\; \omega \):
\( \quad H(\omega) = \dfrac{ - \; 3 \; \omega^2}{- 3 \omega^2 + 2000000 + j \; 6000 \; \omega } \)
Probleme mit Lösungen
Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich für jede der unten stehenden Schaltungen in den Teilen A und B.
Teil A
Teil B
Lösungen zu den oben genannten Problemen
Teil A
Lassen Sie \( \quad s = j \; \omega \), \( Z_1 = R_1 \), \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = R_3 \) und \( Z_4 = C // L = \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} \)
Ersetzen Sie \( Z_1, Z_2, Z_3 \) und \( Z_4 \) durch ihre Ausdrücke in der Formel (I) oben.
\( \quad H(s) = \dfrac{ \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} R_2 }{(R_1 + R_2)\left( \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} + R_3 \right) + R_1 R_2} \)
Multiplizieren Sie den Zähler und Nenner mit \( (C L s^2 + 1) \) und vereinfachen Sie:
\( \quad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{(R_1 + R_2)\left( L s + R_3 (C L s^2 + 1) \right) + R_1 R_2 (C L s^2 + 1)} \)
Erweitern und faktorisieren Sie die Ausdrücke im Nenner:
\( \quad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{ CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2)s^2 + L(R_1+R_2)s + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
Ersetzen Sie \( s \) durch \( j \omega \), um zu erhalten:
\( \quad H(\omega) = \dfrac{ j \; LR_2 \; \omega }{ -CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2) \; \omega^2 + j \; L(R_1+R_2) \; \omega + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
Teil B
Lassen Sie
\( \quad s = j \omega \), \( Z_1 = R_1 \), \( Z_2 = R_2 // L = \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \), \( Z_3 = R_3 \) und \( Z_4 = C // R_4 = \dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \)
Ersetzen Sie \( Z_1, Z_2, Z_3 \) und \( Z_4 \) durch ihre Ausdrücke in der Formel (I) oben.
\( \quad H(s) = \dfrac{ \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \right) \left(\dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) }{ \left(R_1 + \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} + R_3 \right) + R_1 \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2}} \)
Multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner mit dem Ausdruck \( (1+R_4 C s) (L s + R_2) \) und vereinfachen Sie:
\( \quad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (R_1 (L s + R_2) + R_2 Ls) (R_4 + R_3 (1+R_4 C s)) + R_1 R_2 Ls (1+R_4 C s) } \)
Erweitern Sie die Ausdrücke im Nenner:
\( \quad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{LsR_2R_1+LR_4Cs^2R_2R_1+LsR_1R_3+LR_4Cs^2R_1R_3+LR_4sR_1+R_2R_1R_3+R_4CsR_2R_1R_3+R_4R_2R_1+LsR_2R_3+LR_4Cs^2R_2R_3+LR_4sR_2} \)
Gruppieren Sie die Terme mit \( s^2 \) und Terme mit \( s \) und faktorisieren Sie:
\( \quad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 )s^2 + (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2)s +R_2R_1R_3 +R_4R_2R_1 } \)
Ersetzen Sie \( s \) durch \( j \omega \) und schreiben Sie:
\( \quad H(\omega) = \dfrac{j \; R_4R_2L \; \omega}{ - (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 ) \; \omega^2 + j \; (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2) \; \omega +R_2R_1 (R_3 +R_4) } \)
