Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich von Wechselstromkreisen werden mit Beispielen und ihren Lösungen vorgestellt. Aufgaben und deren Lösungen sind ebenfalls enthalten. Aufgaben und deren Lösungen sind ebenfalls enthalten.
Die Ideen zur Verwendung komplexer Zahlen in Wechselstromkreisen und die
Berechnungen in RLC-Kreisen werden genutzt, um Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich zu entwickeln und zu berechnen.
Beachten Sie, dass wir normalerweise die Impedanzen mit \( j \omega \) ausdrücken. Bei komplexeren Ausdrücken der Impedanzen ist es jedoch vielleicht einfacher, \( s = j \omega \) zu verwenden, um zu vereinfachten Ausdrücken zu gelangen.
Mehr zu Übertragungsfunktionen von in Reihe geschalteten Schaltungen ist ebenfalls enthalten.
A - Frequenzverhalten von Kapazitäten und Induktivitäten
Kapazitäten und Induktivitäten reagieren unterschiedlich auf verschiedene Frequenzen.
Bei einer gegebenen Frequenz \( \omega \) ist die Impedanz \( X_C\) eines Kondensators mit der Kapazität \( C \) gegeben durch
\[ Z_C = \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \]
und die Impedanz \( X_L\) einer Induktivität mit der Induktivität \( L \) ist gegeben durch
\[ Z_L = j \; \omega L \]
Sowohl \( X_C \) als auch \( X_L \) sind komplexe Impedanzen, und der Betrag jeder Impedanz wird durch
\[ | Z_C | = \dfrac{1}{\omega \; C} \]
\[ | Z_L | = \omega L \]
gegeben.
Sei \( C = 100 \mu \; F \) und \( L = 100 \; mH \) und graphieren Sie \( | Z_C | \) und \( | Z_L | \).
Die Diagramme von \( | Z_C | \) und \( | Z_L | \) gegen die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) sind unten dargestellt. Das Diagramm von \( |Z_C| \) ist eine Hyperbel, und das von \( |Z_L| \) ist eine Gerade.
Wichtige Eigenschaften, die zu beachten sind:
1) Wenn die Frequenz klein und nahe null ist, ist die Impedanz \( |Z_C| \) des Kondensators sehr groß und die Impedanz \( |Z_L| \) der Induktivität ist sehr klein (nahe null).
2) Wenn die Frequenz groß ist, ist die Impedanz \( |Z_C| \) des Kondensators sehr klein (nahe null) und die Impedanz \( |Z_L| \) der Induktivität ist groß.
3) Im Allgemeinen sind Impedanzen, einschließlich Kombinationen von Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten, Funktionen der Frequenz, und daher sind auch Spannungen und Ströme Funktionen der Frequenz.
Wenn eine Impedanz groß ist, können wir annehmen, dass sie sich wie ein offener Stromkreis verhält, und wenn die Impedanz klein ist, verhält sie sich wie ein Kurzschluss.
Die obigen Eigenschaften helfen uns, die Eigenschaften verschiedener Wechselstromkreise zu verstehen.
Beachten Sie, dass, wenn wir \( s = j \omega \) schreiben, die Impedanzen eines Kondensators mit der Kapazität \( C \) als
\[ Z_C = \; \dfrac{1}{ s \; C} \]
die Impedanzen einer Induktivität mit der Induktivität \( L \) können als
\[ Z_L = s L \]
geschrieben werden.
Überblick über komplexe Zahlen in Polarform
In komplexen Zahlen ist die imaginäre Einheit definiert durch \( j = \sqrt {-1} \) oder \( j^2 = - 1 \).
Die Polarform einer komplexen Zahl \( Z = a + j b \) wird gegeben durch
\( Z = |Z| \; \angle \; \theta \)
wobei \( |Z| \) und \( \theta \) der Betrag und das Argument von \( Z \) sind und wie folgt definiert werden:
\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \) und \( \theta = \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) \) innerhalb des Bereichs \( -\pi \lt \theta \le \pi \).
Ein großer Vorteil der Verwendung von komplexen Zahlen in Polarform in elektronischen Wechselstromkreisen ist die einfache Multiplikation und Division dieser Zahlen.
Seien zwei komplexe Zahlen \( Z_1 \) und \( Z_2 \) in Polarform gegeben durch
\( Z_1 = |Z_1| \; \angle \; \theta_1 \) und \( Z_2 = |Z_2| \; \angle \; \theta_2 \)
Produkt
Das Produkt von \( Z_1 \) und \( Z_2 \) wird gegeben durch
\( Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1| \cdot |Z_2| \; \angle \; \theta_1 + \theta_2 \)
Division
Die Division von \( Z_1 \) und \( Z_2 \) wird gegeben durch
\( \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \; \angle \; \theta_1 - \theta_2 \)
Potenz
\( Z_1^n \) wird gegeben durch
\( Z_1^n = |Z_1|^n \angle \; n \theta_1 \)
B-Spannungsübertragungsfunktion im Frequenzbereich
Wir betrachten den einfachen Spannungsteiler unten und verwenden die Spannungen und Impedanzen, um die Ausgangsspannung wie folgt auszudrücken:
Abb.1 - Spannungsteiler
Verwenden Sie Kirchhoffs und Ohms Gesetz, erweitert auf Wechselstromkreise, bei denen \( Z_1 \) und \( Z_2 \) komplexe Impedanzen sind, um zu erhalten:
\( V_{out} = \dfrac{Z_2}{Z_2+Z_1} V_{in}\)
wobei \( V_{out} \) und \( V_{in} \) die komplexe Form der Spannungen \( v_{out} \) und \( v_{in} \) sind.
Im Allgemeinen hängen \( Z_1 \) und \( Z_2 \) von der Frequenz \( \omega \) der Spannungsquelle \( v_i \) ab, und das Verhältnis \( H(\omega) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) wird als Spannungsübertragungsfunktion im Frequenzbereich bezeichnet.
Im obigen Beispiel wird \( H(\omega) \) gegeben durch:
\( H(\omega) = \dfrac{Z_2}{Z_2+Z_1} \)
Die Übertragungsfunktion \( H \) ist eine Funktion von \( \omega \), da die Impedanzen im Allgemeinen Funktionen der Frequenz der Spannungsquelle (oder des Stroms) sind, wie oben gesehen.
Beispiel 1
Finden Sie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich des untenstehenden Schaltkreises und zeichnen Sie das Diagramm seiner Größe und seines Arguments (oder seiner Phase).
Lösung zu Beispiel 1
Verwenden Sie die Formeln für Impedanzen in Wechselstromkreisen,
in der RC-Schaltung unten wird die Ausgangsspannung (in komplexer Form) \( V_{out} \) gegeben durch:
\( V_{out} = \dfrac{\; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} }{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + R } V_{in}\)
Vereinfachen Sie die obige Gleichung und schreiben Sie die Spannungsübertragungsfunktion \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) im Frequenzbereich wie folgt:
\( H(\omega) \) ist eine Übertragungsfunktion im Frequenzbereich, da sie eine Beziehung zwischen dem Ausgang und dem Eingang angibt und von der Frequenz \( \omega \) abhängt.
Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich ist eine komplexe Zahl und kann in Polarform geschrieben werden, die oben überprüft wurde.
\[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \]
wobei \( | H(\omega) | \) der Betrag von \( H(\omega) \) und \( \phi(\omega) \) das Argument (Phase) von \( H(\omega) \) ist.
Der Nenner von \( H(\omega) = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \), wie oben erhalten, kann in Polarform geschrieben werden als:
\( 1 = 1 \angle 0 \)
und der Nenner kann geschrieben werden als:
\( 1 + j \omega R \; C = \sqrt{1^2 + (\omega \; R \; C)^2} \; \angle \arctan(\omega \; R \; C) \)
Daher können wir unter Verwendung der Division komplexer Zahlen in Polarform schreiben: \( \dfrac{|z_1| \angle \phi_1 }{|z_2| \angle \phi_2 } = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \angle (\phi_1 - \phi_2) \), schreiben wir \( H(\omega) \) wie folgt:
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + (\omega \; R \; C)^2}}} \; \angle - \arctan(\omega \; R \; C) \)
Verwenden Sie die numerischen Werte der Kapazität und Induktivität, die oben angegeben sind, und berechnen Sie \( R C = 100 \times 200 \times 10^{-6} = 0.02\).
Daher:
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \; \angle - \arctan(0.02 \; \omega) \)
Das Diagramm der Größe der Übertragungsfunktion, gegeben durch den Ausdruck \( 20 \; \log_{10} \left(\dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \right) \) gegen die Frequenz \( \omega \) ist unten dargestellt.
Das Diagramm der Phase der Übertragungsfunktion, gegeben durch den Ausdruck \( - \arctan(0.02 \; \omega) \) (und in Grad umgerechnet) gegen die Frequenz \( \omega \) ist unten dargestellt.
Beispiel 2
Finden Sie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich des untenstehenden Schaltkreises und zeichnen Sie das Diagramm seiner Größe und seines Arguments (oder seiner Phase).
Lösung zu Beispiel 2
Verwenden Sie die Formeln für Impedanzen in Wechselstromkreisen,
in der RC-Schaltung unten wird die Ausgangsspannung (in komplexer Form) \( V_{out} \) gegeben durch:
\( V_{out} = \dfrac{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega}{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega + R } V_{in}\)
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( j \; \omega \; C \) und vereinfachen Sie, um die Spannungsübertragungsfunktion \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) im Frequenzbereich zu erhalten:
\( H(\omega) = \dfrac{1 - L \; C \; \omega^2 }{1 - L \; C \; \omega^2 + j \; R \; C \; \omega}\)
Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich kann in Polarform geschrieben werden als:
\[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \]
Die Größe \( | H(\omega) | \) von \( H(\omega) \) wird gegeben durch:
\( | H(\omega) | = \dfrac{|1 - L \; C \; \omega^2 |}{\sqrt{ (1 - L \; C \; \omega^2 )^2 + (R \; C \; \omega)^2 }}\)
Die Phase \( \phi(\omega) \) von \( H(\omega) \) wird gegeben durch:
\( \phi(\omega) = - \arctan \left(\dfrac{R \; C \; \omega}{1 - L \; C \; \omega^2} \right) \)
Die Diagramme von \( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \) und der Phase \( \phi(\omega) \) sind unten dargestellt.
Beispiel 3
Finden Sie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich des untenstehenden Schaltkreises und zeichnen Sie das Diagramm seiner Größe und seines Arguments (oder seiner Phase).
Lösung zu Beispiel 3
Um die Manipulation von Ausdrücken zu erleichtern, lassen Sie uns
\[ s = j \omega \]
und drücken Sie die Impedanzen der Kondensatoren \( C_1 \) und \( C_2 \) in Bezug auf \( s \) wie folgt aus:
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
und
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
Wir verwenden nun Kirchhoffs Strom- und Spannungsgesetze und Ohms Gesetz, um die Gleichungen zu schreiben:
\( I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) Kirchhoffs Stromgesetz am oberen Knoten
\( V_{in} = R_1 I + Z_{c_1} I_1 \qquad (II)\) Kirchhoffs Spannungsgesetz auf der geschlossenen Schleife links
\( Z_{c_1} I_1 = (Z_{c_2} + R_2) I_2 \qquad (III)\) Kirchhoffs Spannungsgesetz auf der geschlossenen Schleife rechts
\( V_{out} = R_2 I_2 \qquad (IV)\) Ohms Gesetz für die Spannung über \( R_2 \)
Verwenden Sie Gleichungen (II) und (IV), um die Übertragungsfunktion \( H(\omega ) \) wie folgt zu schreiben:
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 I + Z_{c_1} I_1} \)
Verwenden Sie Gleichung (I), um \( I \) durch \( I_1 + I_2 \) in \( H(\omega)\) oben zu ersetzen:
\( H(s) = \dfrac{R_2 I_2}{R_1 ( I_1 + I_2) + Z_{c_1} I_1} \)
Teilen Sie den Zähler und Nenner der obigen Gleichung durch \( I_2 \), vereinfachen und schreiben Sie:
\( H(s) = \dfrac{R_2}{R_1 \left( \dfrac{I_1}{I_2} + 1 \right) + Z_{c_1} \dfrac{I_1}{I_2}} \qquad (V) \)
Verwenden Sie Gleichung (III), um zu erhalten:
\( \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{Z_{c_2} + R_2}{Z_{c_1}} \)
Ersetzen Sie \( \dfrac{I_1}{I_2} \) durch \( \dfrac{Z_{c_2} + R_2}{Z_{c_1}} \) in \( (IV) \) und ordnen Sie um, um \( H(\omega) \) zu erhalten:
\( \phi(\omega) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan \left(\dfrac{320 \; \omega}{-\omega^2 + 8000} \right) \)
Die Diagramme von \( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \) und der Phase \( \phi(\omega) \) sind unten dargestellt.
Aufgaben mit Lösungen
Finden Sie die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich für jeden Schaltkreis unten in den Teilen A und B.
Teil A
Teil B
Teil C
Wenden Sie die Formel für zwei in Reihe geschaltete Schaltungen an, um die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich des unten gezeigten Schaltkreises zu finden.
Lösungen zu den obigen Aufgaben
Teil A
Sei \( s = j \; \omega \)
, \( Z_C = \dfrac{1}{C \; s} \) die Impedanz des Kondensators \( C \) und \( Z_L = L \; s \) die Impedanz der Induktivität \( L \).
Die Impedanz \( Z \), die \( Z_C \) parallel zu \( Z_L \) entspricht, wird gegeben durch:
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L}\)
was geschrieben werden kann als:
\( Z = \dfrac{Z_C \; Z_L}{ Z_C + Z_L } \)
Die Spannung \( V_{out} \) wird gegeben durch:
\( V_{out} = \dfrac { V_{in}}{ Z + R } R \)
Die Übertragungsfunktion wird gegeben durch:
\( H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{R}{Z + R} \)
Berechnen Sie \( Z \) in Bezug auf \( C \) und \( L \).
\( Z = \dfrac{ \dfrac{1}{C \; s} \; L \; s }{ \dfrac{1}{C \; s} + L \; s } = \dfrac{L \; s}{ 1 + L \; C \; s^2} \)
Ersetzen Sie \( Z \) durch seinen obigen Ausdruck in \( H(\omega) \), um zu erhalten:
\( H(s) = \dfrac{R (1 + L \; C \; s^2)}{L \; s + R \; (1 + L \; C \; s^2)} \\\\
\quad = \dfrac{R\;L\;C \; s^2 + R}{R\;L\;C s^2 + L\;S + R}
\)
Ersetzen Sie \( s = j \omega \), um zu erhalten:
\[ H(\omega) = \dfrac{R\;L\;C \; \omega^2 + R}{-R\;L\;C \; \omega^2 + R + j \; \omega L } \]
Teil B
Sei
\[ s = j \omega \]
und drücken Sie die Impedanzen der Kondensatoren \( C_1 \) und \( C_2 \) wie folgt aus:
\( Z_{C_1} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_1} = \dfrac{1}{s C_1} \)
und
\( Z_{C_2} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C_2} = \dfrac{1}{s C_2} \)
Verwenden Sie Kirchhoffs Strom- und Spannungs- sowie Ohms Gesetz, um vier Gleichungen sehr ähnlich wie im Beispiel 3 oben zu schreiben und lösen Sie, um die Übertragungsfunktion zu erhalten.
\( H(s) = \dfrac{R_1 \; C_1 \; s }{(R_1 \; C_1 \; s + 1)(R_2 \; C_2 \; s + 1) + R_1 \; C_2 \; s } \qquad (I) \)
\( R_1 \; C_2 = 2 \cdot 10^3 \times 200 \cdot 10^{-6} = \dfrac{2}{5} \)
Ersetzen Sie \( R_1 \; C_1 \) und \( R_2 \; C_2 \) durch ihre numerischen Werte, erweitern Sie den Nenner und ersetzen Sie \( s \) durch \( j \; \omega \) in (I) oben, um die Übertragungsfunktion im \( s \)- und im Frequenzbereich zu erhalten.
\( H(s) = \dfrac{ 5 s }{ 3 s^2 + 30 s + 25 } \)
