Die Fehlerfunktion \( \text{Erf} \; (x) \) wird durch das Integral [4] definiert:
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \]
Computerprogramme in verschiedenen Programmiersprachen können leicht entwickelt werden, um \( \text{Erf} \; (x) \) zu berechnen.
Eine Tabelle mit Werten von \( \text{Erf} (x) \) im Intervall \( x \in [-3 \; , \; 3] \), die mit Google Sheets erstellt wurde, wird unten zusammen mit ihrem Diagramm präsentiert. (Sie müssen möglicherweise nach unten scrollen).
Aus der Definition und dem Diagramm können wir sagen, dass \( \text{Erf} \; (x) \) eine ungerade Funktion ist und daher
Die Normale Dichtefunktion einer Zufallsvariablen \( X \) mit dem Mittelwert \( \mu \) und der Standardabweichung \( \sigma \) wird durch [1], [2], [3], [4] gegeben.
\[ f_{X}(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{x -\mu}{\sigma} \right)^2 } \qquad (I) \]
Deren Grafik ist unten dargestellt.
Wir entwickeln nun die Beziehung zwischen der kumulativen Verteilungsfunktion für eine oben definierte Normalverteilung und gegeben durch
\[ F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \; \pi }} \int_{-\infty}^{x} \; e^{-\frac{1}{2} \left(\dfrac{t -\mu}{\sigma} \right)^2 } dt \qquad (III) \]
und der Fehlerfunktion definiert durch
\[ \displaystyle \text{Erf} \; (x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} \; e^{-t^2} \; dt \qquad (IV) \]
Sei \( z = \dfrac{t-\mu}{\sigma \sqrt 2} \) und daher \( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} \) oder \( dz = \dfrac{1}{\sigma \sqrt 2} dt \)
Ersetzen Sie das Obige in \( (III) \) und schreiben Sie
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \int_{-\infty}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \]
Teilen Sie das Intervall der Integration und schreiben Sie \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) wie folgt:
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \int_{-\infty}^{0} \; e^{-z^2 } dz + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
Wir verwenden nun das Gaußsche Integral Gaußsches Integral, das durch
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]
gegeben ist. Da \( e^{-x^2} \) eine gerade Funktion ist, haben wir
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \]
Verwenden Sie das Gaußsche Integral, um zu schreiben
\[ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt {\pi}}{2}\]
Setzen Sie dies in \( \qquad (V) \) ein und schreiben Sie
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \int_{0}^{\dfrac{x-\mu}{\sigma \sqrt 2}} \; e^{-z^2 } dz \right) \qquad (V) \]
Verwenden Sie \( (IV) \), um zu schreiben \( \displaystyle \int_0^{\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right)} \; e^{-t^2} \; dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \), welches wir in \( (V) \) oben einsetzen, um zu schreiben:
\[ \displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{ \sqrt{\pi} } \left( \dfrac{\sqrt {\pi}}{2} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right) \qquad (V) \]
Vereinfachen Sie und schreiben Sie die Beziehung zwischen \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) und \( \text{Erf} \; (x) \) wie folgt:
\[ \boxed {\displaystyle F_{X}(x,\mu,\sigma) = \dfrac{1}{2 } \left( 1 + \text{Erf} \; \left(\dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt 2}\right) \right)} \]
Daher kann die kumulative Normalverteilungsfunktion \( F_{X}(x,\mu,\sigma) \) mithilfe der Fehlerfunktion \( \text{Erf} (x) \) berechnet werden.