Ein interaktiver Rechner zur Lösung von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten wird vorgestellt.
Eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) hat die allgemeine Form [1] , [2] , [3] :
\[
a \frac{d^2y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + c y = 0
\]
Um diese Differentialgleichung mithilfe der Hilfsgleichung (oder charakteristischen Gleichung) zu lösen, finden wir zuerst die Wurzeln der Hilfsgleichung, die durch Annahme einer Lösung der Form \( y(t) = e^{rt} \) erhalten wird, daher \( y'(t) = r e^{rt} \) und \( y''(t) = r^2 e^{rt} \).
Setze \( y(t) \), \( y'(t)\) und \( y''(t) \) in die Differentialgleichung ein und faktorisiere wie folgt:
\[
(a r^2 + b r + c) e^{rt} = 0
\]
Da \( e^{rt} \) nicht null sein kann, erhalten wir die Hilfsgleichung, die der Differentialgleichung entspricht:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
1. Schreiben Sie die Hilfsgleichung auf:
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
Die Art der Wurzeln der Hilfsgleichung bestimmt das Verhalten der Lösungen:
Sei \( \Delta = b^2 - 4 \; a \; c \)
1 - Wenn \( \Delta > 0 \) , sind die Wurzeln
\( r_1 = \dfrac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a} \) und \( r_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a}\)
real und verschieden. Die allgemeine Lösung enthält Exponentialfunktionen wie folgt.
\[
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
\]
wobei \( C_1 \) und \( C_2 \) Konstanten sind, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden.
2 - Wenn \( \Delta = 0 \) , sind die Wurzeln \( r_1 \) und \( r_2 \) real und gleich \( -\dfrac{b}{2 \; a} \). Die allgemeine Lösung enthält eine lineare Funktion in \( t \), multipliziert mit einer Exponentialfunktion.
\[
y(t) = ( C_1 + C_2 \; t ) e^{r_1 t}
\]
und \( C_1 \) und \( C_2 \) sind Konstanten, die durch Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden.
3 - Wenn \( \Delta \lt 0 \) , sind die Wurzeln \( r_1 \) und \( r_2 \) komplexe Konjugate der Form
\( r_1 = \dfrac{- b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a} \) und \( r_2 = \dfrac{- b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a }\)
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung enthält Sinus- und Kosinusfunktionen wie folgt.
\[
y(t) = e^{\alpha \; t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta \; t) \right)
\]
wobei
\( \alpha = \dfrac{- b }{2 \;a} \) und \( \beta = \dfrac{ \sqrt{4 a c - b^2} }{2 \;a} \)
und \( C_1 \) und \( C_2 \) sind Konstanten, die durch Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt werden.
Geben Sie die Koeffizienten \( a, b , c \) und die Anfangsbedingungen \( y(0) \) und \( y'(0) \) als reelle Zahlen ein und drücken Sie "Lösen".
Lösung