Zweite und höhere Ordnungen partieller Ableitungen
Inhaltsverzeichnis
Berechnungen der ersten, zweiten und höheren Ordnungen von partiellen Ableitungen werden mit Beispielen und deren Lösungen, einschließlich detaillierter Berechnungsschritte, vorgestellt. Clairauts Theorem zur Gleichheit gemischter partieller Ableitungen unter bestimmten Stetigkeitsbedingungen wird durch Beispiele veranschaulicht.
Die zweiten und höheren Ordnungen partieller Ableitungen sind im Wesentlichen die Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen, die mehrfach in Bezug auf eine oder mehrere Variablen abgeleitet werden.
Partielle Ableitungen erster Ordnung
Gegeben eine Funktion \(f(x, y)\), sind die partiellen Ableitungen erster Ordnung:
In Bezug auf \(x\): \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\)
In Bezug auf \(y\): \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)
Partielle Ableitungen zweiter Ordnung
Sobald wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung haben, können wir sie erneut differenzieren, um die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zu erhalten, die wie folgt sind:
In Bezug auf \(x\) zweimal: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)
In Bezug auf \(y\) zweimal: \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
In Bezug auf \(x\) und dann \(y\): \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
In Bezug auf \(y\) und dann \(x\): \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)
Partielle Ableitungen höherer Ordnung
In ähnlicher Weise können wir weiterhin Ableitungen vornehmen, um partielle Ableitungen höherer Ordnung zu erhalten. Zum Beispiel wäre die partielle Ableitung dritter Ordnung von \(f\) in Bezug auf \(x\) zweimal und dann \(y\) einmal wie folgt notiert: \(\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2}\).
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von
\[f(x, y) = x^2y + 3xy^2\]
Lösung zu Beispiel 1 mit detaillierten Schritten
1. Partielle Ableitungen erster Ordnung
a. Differenzieren Sie \(f\) in Bezug auf \(x\):
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2) \\\\ = 2xy + 3y^2 \]
b. Differenzieren Sie \(f\) in Bezug auf \(y\):
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2) \\\\ = x^2 + 6xy \]
2. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung
a. Differenzieren Sie \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) in Bezug auf \(x\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy + 3y^2) = 2y \]
b. Differenzieren Sie \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) in Bezug auf \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 + 6xy) = 6x \]
c. Differenzieren Sie \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) in Bezug auf \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\= \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy + 3y^2) = 2x + 6y \]
d. Differenzieren Sie \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) in Bezug auf \(x\) (sollte dasselbe Ergebnis wie Schritt c geben aufgrund der Symmetrie, wenn die gemischten partiellen Ableitungen der Funktion stetig sind):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 + 6xy) = 2x + 6y \]
Beachten Sie, dass \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), was das
Clairauts Theorem zur Gleichheit gemischter partieller Ableitungen unter bestimmten Stetigkeitsbedingungen illustriert.
Beispiel 2
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion
\[g(x, y) = e^{xy} + \sin(x)y^2 \].
Lösung zu Beispiel 2 mit detaillierten Schritten
1. Partielle Ableitungen erster Ordnung
a. Differenzieren Sie \(g\) in Bezug auf \(x\):
\[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \\\\= ye^{xy} + \cos(x)y^2 \]
b. Differenzieren Sie \(g\) in Bezug auf \(y\):
\[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \\\\= xe^{xy} + 2y\sin(x) \]
2. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung
a. Differenzieren Sie \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\) in Bezug auf \(x\):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\=\dfrac{\partial}{\partial x}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= y^2e^{xy} - y^2\sin(x) \]
Dieser Schritt umfasst die Anwendung der Produktregel für die Differenzierung auf beide Terme separat.
b. Differenzieren Sie \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) in Bezug auf \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= x^2e^{xy} + 2\sin(x) \]
Auch hier wird die Produktregel angewendet, wobei diesmal der Fokus darauf liegt, wie sich der Exponentialterm und der Sinusterm in Bezug auf \(y\) ändern.
c. Differenzieren Sie \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\) in Bezug auf \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
d. Differenzieren Sie \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) in Bezug auf \(x\) (wiederum dasselbe Ergebnis wie Schritt c aufgrund der Symmetrie und der Stetigkeit der gemischten partiellen Ableitungen):
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ =
\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
Die Gleichheit \(\dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\) illustriert das
Clairauts Theorem zur Gleichheit gemischter partieller Ableitungen unter bestimmten Stetigkeitsbedingungen.
Beispiel 3
Berechnen Sie die partielle Ableitung erster Ordnung, die partielle Ableitung zweiter Ordnung und zwei partielle Ableitungen dritter Ordnung \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} \) und \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} \) der Funktion \( f \) definiert durch
\[ f(x, y) = x^3y^2 + x^2e^y \].
Lösung zu Beispiel 3 mit detaillierten Schritten
1. Partielle Ableitungen erster Ordnung
a. In Bezug auf \(x\):
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2e^y) \\\\= 3x^2y^2 + 2xe^y \]
b. In Bezug auf \(y\)
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2e^y) \\\\= 2x^3y + x^2e^y \]
2. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung
a. In Bezug auf \(x\) zweimal:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\= 6xy^2 + 2e^y \]
b. In Bezug auf \(y\) zweimal:
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 2x^3 + x^2e^y \]
c. In Bezug auf \(x\) dann \(y\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\ = 6x^2y + 2xe^y \]
d. In Bezug auf \(y\) dann \(x\):
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 6x^2y + 2xe^y \]
Auch in diesem Beispiel haben wir die Gleichheit \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), was das
Clairauts Theorem zur Gleichheit gemischter partieller Ableitungen unter bestimmten Stetigkeitsbedingungen illustriert.
3. Partielle Ableitungen dritter Ordnung
a. In Bezug auf \(x\) zweimal, dann \(y\):
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(6xy^2 + 2e^y) = 12 x y + 2 e^y \]
b. In Bezug auf \(x\), dann \(y\), dann wieder \(x\):
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(6x^2y + 2xe^y) = 12xy + 2e^y \]
Clairauts Theorem
Clairauts Theorem, auch bekannt als die Gleichheit gemischter partieller Ableitungen, besagt, dass, wenn eine Funktion \( f(x, y) \) stetige zweite partielle Ableitungen in einer offenen Region enthält, die einen Punkt \( (a, b) \) enthält, dann die Reihenfolge der Differenzierung der gemischten partiellen Ableitungen an diesem Punkt das Ergebnis nicht beeinflusst. Mit anderen Worten:
\[
\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}}
\]
Hier ist ein einfaches Beispiel, das Clairauts Theorem illustriert:
Betrachten Sie die Funktion \( f(x, y) = x^2y + y^3 \).
Zuerst finden wir die gemischten partiellen Ableitungen:
1. Finden Sie \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \):
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2xy \]
2. Finden Sie \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \):
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} = x^2 + 3y^2 \]
Nun lassen Sie uns die gemischten partiellen Ableitungen finden:
1. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} \):
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2 + 3y^2) = 2x \]
2. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \):
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} (2xy) = 2x \]
Gemäß Clairauts Theorem, da beide gemischten partiellen Ableitungen stetig und gleich sind, haben wir \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \).
Weitere Links und Referenzen
Partielle Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen
Funktionen mehrerer Variablen