Partielle Ableitungen von Funktionen mit mehreren Variablen
Inhaltsverzeichnis
Beispiele und Übungen zur Berechnung von partiellen Ableitungen werden vorgestellt.
Während gewöhnliche Ableitungen sich mit Funktionen einer einzelnen Variablen beschäftigen, sind partielle Ableitungen eine Art von Ableitung, die das Konzept der gewöhnlichen Ableitungen auf mehrdimensionale Funktionen verallgemeinern.
Formal wird die partielle Ableitung einer Funktion \( f(x_1, x_2, ..., x_n) \) bezüglich einer ihrer Variablen, sagen wir \( x_i \), durch \( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \) bezeichnet. Sie stellt die Änderungsrate der Funktion \( f \) in Bezug auf die Variable \( x_i \) dar, während alle anderen Variablen konstant gehalten werden.
Mathematisch ist die partielle Ableitung von \( f \) bezüglich \( x_i \) definiert als:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_1, x_2, ..., x_i + h, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{h} \]
In Worten besagt diese Definition, dass die partielle Ableitung von \( f \) bezüglich \( x_i \) der Grenzwert des Differenzenquotienten ist, wenn \( h \) gegen null geht, wobei \( h \) eine kleine Änderung in der Variable \( x_i \) darstellt, während alle anderen Variablen konstant gehalten werden.
Partielle Ableitungen ermöglichen es uns, zu analysieren, wie sich eine Funktion in Bezug auf eine ihrer Variablen ändert, während die anderen konstant gehalten werden.
Bei der Berechnung der partiellen Ableitung einer Funktion \( f(x, y) \) bezüglich \( x \), bezeichnet als \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \), behandeln wir \( y \) als Konstante.
Ebenso behandeln wir bei der Berechnung der partiellen Ableitung von \( f \) bezüglich \( y \), bezeichnet als \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \), \( x \) als Konstante. Wir berücksichtigen nur, wie sich \( f \) in Bezug auf Variationen in \( y \) ändert, während \( x \) konstant bleibt.
Dies ist das grundlegende Konzept hinter partiellen Ableitungen, das es uns ermöglicht, zu analysieren, wie sich eine Funktion in Bezug auf eine Variable ändert, während andere konstant gehalten werden.
Partielle Ableitungen werden häufig in der Analysis, bei Differentialgleichungen, in der Optimierung und in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik verwendet, einschließlich Physik, Wirtschaft und Ingenieurwesen. Sie spielen eine entscheidende Rolle beim Studium der mehrdimensionalen Analysis und der Analyse von Systemen mit mehreren unabhängigen Variablen. Ein Rechner für partielle Ableitungen ist enthalten und kann zur Überprüfung der Berechnungen verwendet werden.
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von \( f \) bezüglich \( x \), bezeichnet als \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \), und die partiellen Ableitungen von \( f \) bezüglich \( y \), bezeichnet als \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \), wobei \( f \) gegeben ist durch
\[ f(x, y) = 3x^2 + 4xy - y^2 \].
Lösung zu Beispiel 1
1. Ableitung von \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) bezüglich \( x \):
Wir berechnen die partielle Ableitung von \( f \) bezüglich \( x \), bezeichnet als \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \).
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
Unter Verwendung der Summenregel schreiben wir:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) \]
HINWEIS: Bei der Berechnung der partiellen Ableitung einer Funktion \( f(x, y) \) bezüglich \( x \), behandeln wir \( y \) als Konstante.
Unter Verwendung der Potenzregel für die Differentiation haben wir:
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) = 6x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) = 4y\]
\[\dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) = 0\]
Daher
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y - 0\]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y \].
2. Ableitung von \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) bezüglich \( y \):
Wir berechnen nun die partielle Ableitung von \( f \) bezüglich \( y \), bezeichnet als \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \).
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 4xy - y^2) \]
Unter Verwendung der Summenregel schreiben wir:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) \]
HINWEIS: Bei der Berechnung der partiellen Ableitung einer Funktion \( f(x, y) \) bezüglich \( y \), behandeln wir \( x \) als Konstante. Unter Verwendung verschiedener Differentiationsregeln haben wir:
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) = 0 \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy)= 4x \]
\[ \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y \]
Daher
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 + 4x - 2y \]
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 4x - 2y\].
Beispiel 2
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von \( g \) bezüglich \( x \), \( y \) und \( z \), wobei \( g \) gegeben ist durch
\[ g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \].
Lösung zu Beispiel 2
Um die partiellen Ableitungen von \( g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \) bezüglich \( x \), \( y \) und \( z \) zu berechnen, behandeln wir jede Variable als unabhängig und differenzieren jeden Term von \( g \) bezüglich der jeweiligen Variablen, während wir die anderen Variablen konstant halten. Lassen Sie uns jede partielle Ableitung Schritt für Schritt berechnen:
1. Partielle Ableitung bezüglich \( x \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Unter Verwendung der Produktregel für die Differentiation:
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right)
\]
Nun berechnen wir jeden Term separat:
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = y e^{xy}
\]
\[
\dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
Zusammengefasst ergibt das:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
2. Partielle Ableitung bezüglich \( y \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Unter Verwendung der Produktregel für die Differentiation:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right)
\]
Nun berechnen wir jeden Term separat:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy}
\]
Da \( \cos(z) \) nicht von \( y \) abhängt, ist seine Ableitung bezüglich \( y \) null:
\[
\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) = 0
\]
Zusammengefasst ergibt das:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
3. Partielle Ableitung bezüglich \( z \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right)
\]
Unter Verwendung der Produktregel für die Differentiation:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right)
\]
Nun berechnen wir jeden Term separat:
a. Ableitung von \( e^{xy} \) bezüglich \( z \):
Da \( e^{xy} \) nicht von \( z \) abhängt, ist seine Ableitung bezüglich \( z \) null:
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) = 0
\]
b. Ableitung von \( \cos(z) \) bezüglich \( z \):
\[
\dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) = -\sin(z)
\]
Zusammengefasst ergibt das:
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
Daher sind die partiellen Ableitungen von \( g \) bezüglich \( x \), \( y \) und \( z \):
\[
\dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z)
\]
\[
\dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z)
\]
Übungen mit Lösungen
Finden Sie die partiellen Ableitungen der Funktionen:
- \( g(u,v) = u^2 \; v^2 + e^{u^2+v^2} \)
- \( f(x,y,z) = \sin (xy )\;\ln (xyz ) \)
- \( h(x,y,z) = \dfrac{z}{x \;y \;z +1} \)
Lösungen zu den obigen Übungen
-
\( \dfrac{\partial g}{\partial u} = 2 \;u \;v^2 + 2u \; e^{u^2+v^2}\)
\( \dfrac{\partial g}{\partial v} = 2 \;v \;u^2 + 2v \; e^{u^2+v^2}\)
-
\( \dfrac{\partial f}{\partial x} = y \;\cos(xy)\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{x} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial y} = x\;\cos (xy )\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{y} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\sin (xy)}{z} \)
-
\( \dfrac{\partial h}{\partial x} = -\dfrac{y z^2 }{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial y} = -\dfrac{x z^2}{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial z} = \dfrac{1}{\left(zxy+1\right)^2} \)
Weitere Links und Referenzen
Funktionen mehrerer Variablen
Zweite und höhere Ordnungen partieller Ableitungen