Einführung in Differentialgleichungen
Inhaltsverzeichnis
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion und ihre Ableitung beinhaltet [1] , [2] , [3] .
Differentialgleichungen werden verwendet, um Systeme und andere Verhaltensweisen in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, des Ingenieurwesens und der Mathematik zu modellieren.
Ordnung einer Differentialgleichung
Die höchste Ableitung, die in der Differentialgleichung enthalten ist, bestimmt die Ordnung der Gleichung.
Beispiele
Die Differentialgleichung
\[ \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
ist von erster Ordnung, da die höchste Ableitung, die enthalten ist, die erste Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) von \( y \) ist.
Die Differentialgleichung
\[ \dfrac{d^3y}{dx^3} - 5\dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} = 0 \]
ist von dritter Ordnung, da die höchste Ableitung, die enthalten ist, die dritte Ableitung \( \dfrac{d^3y}{dx^3} \) von \( y \) ist.
Die Differentialgleichung
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
ist von zweiter Ordnung, da die höchste Ableitung, die enthalten ist, die zweite Ableitung \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) von \( y \) ist.
Linearität einer Differentialgleichung
Differentialgleichungen können basierend auf ihrer Linearität klassifiziert werden.
Lineare Differentialgleichungen
Wenn die höchste Potenz der unbekannten Funktion und ihrer Ableitungen gleich 1 ist und die Funktion und ihre Ableitungen nicht miteinander multipliziert werden, dann wird die Differentialgleichung als linear bezeichnet. Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung kann ausgedrückt werden als:
\[ a_n(x)\dfrac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1(x)\dfrac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x) \]
Hier sind \( a_i(x) \) Funktionen von \( x \), \( y \) ist die unbekannte Funktion, und \( g(x) \) ist eine bekannte Funktion von \( x \).
Beispiele
Die Differentialgleichung
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2y = 0 \]
ist linear, da die unbekannte Funktion \( y \) und ihre zweite Ableitung \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) nicht zu einer Potenz größer als 1 erhoben oder miteinander multipliziert werden.
Die Differentialgleichung
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2 y = 0 \]
ist linear, da die unbekannte Funktion \( y \), ihre zweite Ableitung \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) und die erste Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \) nicht zu einer Potenz größer als 1 erhoben oder miteinander multipliziert werden.
Nichtlineare Differentialgleichungen
Wenn die unbekannte Funktion oder mindestens eine ihrer Ableitungen zu einer Potenz größer als 1 erhoben oder miteinander multipliziert wird, dann wird die Differentialgleichung als nichtlinear bezeichnet. Differentialgleichungen, die nichtlineare Funktionen wie Quadratwurzel, logarithmische, exponentielle, trigonometrische oder andere nichtlineare Funktionen der unbekannten Funktion oder ihrer Ableitungen beinhalten, sind ebenfalls nichtlinear.
Nichtlineare Differentialgleichungen können komplexes Verhalten aufweisen und sind möglicherweise schwer zu lösen.
Beispiele
Die Differentialgleichung
\[ \dfrac{dy}{dx} = y^2 + 3 \]
ist nicht linear, da \( y \) zum Quadrat erhoben wird.
Die Differentialgleichung
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = e^{y} \]
ist nicht linear, da \( y \) in den nichtlinearen Termen \( e^{y} \) erscheint.
Die Differentialgleichung
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \sin(y) \]
ist nicht linear, da \( y \) in einer trigonometrischen Funktion \( \sin(y) \) erscheint, die eine nichtlineare Funktion ist.
Weitere Referenzen und Links
1 - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
2 - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
3 - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
Rechner für Differentialgleichungen zweiter Ordnung