Ein Rechner zur Lösung von Differentialgleichungen zweiter Ordnung unter Verwendung einer numerischen Methode basierend auf der Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung [1] und ein auf einem Rechner basierendes analytisches Verfahren werden zum Vergleich und zu Bildungszwecken vorgestellt.
Die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung, angewendet auf eine Differentialgleichung erster Ordnung, wird vorgestellt, und dann wird dieselbe Methode auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung angewendet. Schließlich wird ein interaktives Tutorial angeboten, um die Auswirkungen der Schrittweite \( h \) zu untersuchen, die in der Runge-Kutta-Methode verwendet wird.
Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung für eine Differentialgleichung erster Ordnung
Die Runge-Kutta-Methode 4. Ordnung ist eine numerische Methode, die häufig zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs) der Form verwendet wird:
\[ \dfrac{dy}{dt} = f(y, t) \]
mit einer Anfangsbedingung \( y(0) = y_0 \).
Die Runge-Kutta-Methode 4. Ordnung approximiert die Lösung \( y(t) \) zu einem zukünftigen Zeitpunkt \( t + h \) (wobei \( h \) die Schrittweite ist) basierend auf den Informationen zum Zeitpunkt \( t \). Die Methode verwendet vier Zwischenstufen, um die Steigung an verschiedenen Punkten innerhalb des Intervalls \([t, t+h]\) zu berechnen und kombiniert diese, um eine gewichtete Durchschnittssteigung zu erhalten, die dann verwendet wird, um \( y(t+h) \) zu schätzen.
Hier sind die Schritte der Runge-Kutta-Methode 4. Ordnung:
Schritt 1:
\[ k_1 = h \cdot f(y_n, t_n) \]
Hier sind \( y_n \) und \( t_n \) die aktuellen Werte von \( y \) und \( t \).
Schritt 2:
\[ k_2 = h \cdot f\left(y_n + \dfrac{k_1}{2}, t_n + \dfrac{h}{2}\right) \]
Schritt 3:
\[ k_3 = h \cdot f\left(y_n + \dfrac{k_2}{2}, t_n + \dfrac{h}{2}\right) \]
Schritt 4:
\[ k_4 = h \cdot f(y_n + k_3, t_n + h) \]
Schritt 5:
Aktualisieren Sie \( y \) und \( t \)
Die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung kombiniert die obigen Größen (Steigungen), um den Wert von \( y \) am Ende des Intervalls \([t, t+h]\) zu approximieren. Der gewichtete Durchschnitt dieser Steigungen wird mit der Formel berechnet:
\[ \dfrac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \]
Diese Durchschnittssteigung wird dann mit \( h \) multipliziert und zu \( y_n \) hinzugefügt, um den Wert von \( y \) bei \( t_{n+1} \) zu aktualisieren.
\[ y_{n+1} = y_n + h (\dfrac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)) \]
\[ t_{n+1} = t_n + h \]
Runge-Kutta-Methode für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung
Für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form:
\[ \dfrac{d^2y}{dt^2} = f(y, \dfrac{dy}{dt}, t) \]
mit Anfangsbedingungen:
\[ y(0) = y_0 \]
\[ \dfrac{dy}{dt}(0) = \dfrac{dy}{dt}_0 \]
können wir es in ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln, indem wir eine neue Variable einführen:
Sei
\[ \dfrac{dy}{dt} = v \]
Somit kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung als System wie folgt geschrieben werden:
\[ \dfrac{dy}{dt} = v \]
\[ \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2y}{dt^2} = f(y, v, t) \]
Wir können dann die Runge-Kutta-Methode 4. Ordnung anwenden, um dieses System von Differentialgleichungen erster Ordnung wie folgt zu lösen:
Schritt 1:
Berechnen Sie \( k_{1y} \) und \( k_{1v} \)
\[ k_{1y} = h \cdot v \]
\[ k_{1v} = h \cdot f(y_n, v_n, t_n) \]
Schritt 2:
Berechnen Sie \( k_{2y} \) und \( k_{2v} \)
\[ k_{2y} = h \cdot (v_n + \dfrac{k_{1v}}{2}) \]
\[ k_{2v} = h \cdot f\left(y_n + \dfrac{k_{1y}}{2}, v_n + \dfrac{k_{1v}}{2}, t_n + \dfrac{h}{2}\right) \]
Schritt 3:
Berechnen Sie \( k_{3y} \) und \( k_{3v} \)
\[ k_{3y} = h \cdot (v_n + \dfrac{k_{2v}}{2}) \]
\[ k_{3v} = h \cdot f\left(y_n + \dfrac{k_{2y}}{2}, v_n + \dfrac{k_{2v}}{2}, t_n + \dfrac{h}{2}\right) \]
Schritt 4:
Berechnen Sie \( k_{4y} \) und \( k_{4v} \)
\[ k_{4y} = h \cdot (v_n + k_{3v}) \]
\[ k_{4v} = h \cdot f(y_n + k_{3y}, v_n + k_{3v}, t_n + h) \]
Schritt 5:
Aktualisieren Sie \( y \) und \( v \)
\[ y_{n+1} = y_n + \dfrac{1}{6}(k_{1y} + 2k_{2y} + 2k_{3y} + k_{4y}) \]
\[ v_{n+1} = v_n + \dfrac{1}{6}(k_{1v} + 2k_{2v} + 2k_{3v} + k_{4v}) \]
\[ t_{n+1} = t_n + h \]
Runge-Kutta-Methode Rechner
Wir präsentieren nun einen Rechner, der die Lösung für Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Form
\[
a \dfrac{d^2y}{dt^2} + b \dfrac{dy}{dt} + c y = 0 \]
unter Verwendung der oben beschriebenen Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung approximiert, und die Lösung wird auch analytisch zum Vergleich angegeben.
Die obige Differentialgleichung wird auch analytisch gelöst, um Vergleiche anzustellen.
Sei \[ \dfrac{dy}{dt} = v \]
Wir müssen daher die Runge-Kutta-Methode 4. Ordnung auf folgendes System anwenden.
\[ \dfrac{dy}{dt} = v \]
\[ \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2y}{dt^2} = \dfrac{1}{a} (- b \; v - c \; y ) \]
Der Rechner verwendet die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung und löst auch dieselbe Differentialgleichung analytisch und vergleicht die Ergebnisse grafisch.
Geben Sie Koeffizienten und Anfangsbedingungen ein
Geben Sie die Koeffizienten \(a, b \) und \( c \) sowie die Anfangsbedingungen \( y(0) \) und \( dy/dt(0) \) und die Schrittweite \( h \) ein, dann lösen und vergleichen Sie die Grafiken der numerischen und analytischen Lösungen.
Hinweis
1) Sie können die Maus verwenden, um über die Grafiken zu fahren und Punkte auf den Grafiken abzulesen, um diese zu vergleichen.
2) Verwenden Sie die Maus, um ein Diagramm nach dem anderen oder beide anzuzeigen, indem Sie auf die Diagramme in der Legende auf der rechten Seite klicken.
3) Die Fehler bei der Verwendung der Runge-Kutta-Methode hängen von der Schrittweite \( h \) ab. Dieser Rechner ermöglicht es, \( h \) zu ändern und somit die numerische und die analytische Methode zu vergleichen und die Auswirkungen von \( h \) auf die durch die Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung verursachten Fehler zu untersuchen.
4) Sie können auch die Anzahl \( n \) der Schritte ändern, die bei den Berechnungen verwendet werden. Das Diagramm erstreckt sich von \( x = 0 \) bis \( x = n \times h \).
Lösungen:
Interaktives Tutorial: Auswirkungen der Schrittgröße \( h \) auf die Approximation durch die Runge-Kutta-Methode
Geben Sie die folgenden Werte für die Konstanten \( b , c \) und \( d \) ein:
\( a = 1 \) , \( b = 0.5 \) und \( c = 5 \), was eine oszillierende Funktion mit abnehmender Amplitude ergeben sollte.
Geben Sie nun Werte für \( h \) beginnend mit \( h = 0.01 \) ein und erhöhen Sie \( h \) schrittweise bis auf 1. Welche Werte von \( h \) ergeben eine bessere Annäherung an die Lösung im Vergleich zur analytischen Methode?
Weitere Referenzen und Links
1 - https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf - Handbook of Mathematical Functions - von A. Abramowitz und I. Stegun - Seite 875
2 - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
3 - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
4 - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
