Ein interaktiver Rechner , der das Newton-Verfahren [1] zur Annäherung an die Lösungen eines Systems von zwei Gleichungen in zwei Variablen verwendet, wird vorgestellt. Er approximiert die Lösungen, falls vorhanden, und gibt eine Tabelle aller Iterationswerte zu Bildungszwecken an.
Newton-Verfahren für Gleichungssysteme
Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer Gleichung durch Iterationen, die von einer ungefähren Anfangslösung ausgehen. Bei der Behandlung eines Gleichungssystems wird das Verfahren durch die Betrachtung der Jacobimatrix und deren Determinante erweitert.
Newton-Verfahren für eine Variable
Angenommen, wir müssen die folgende Gleichung lösen:
\[ f(x) = 0 \]
Die Taylor-Reihe von \( f(x+\Delta x) \) lautet:
\[ f(x+\Delta x) \approx f(x) + \Delta x f'(x) \]
Nun lösen wir \( f(x+\Delta x) = 0 \), was ergibt:
\[ f(x) + \Delta x f'(x) = 0 \]
was ergibt:
\[ \Delta x \approx - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
Angenommen, wir kennen einen ungefähren Wert \( x_n \) der Nullstelle der Gleichung, dann ist die angenäherte Nullstelle \( x_{n+1} \) definiert durch
\[ \Delta x = x_{n+1} - x_n \]
und wird durch
\[ x_{n+1} \approx x_{n} - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
gegeben.
Gleichungssystem und die Jacobimatrix
Betrachten wir ein System von zwei Gleichungen in zwei Variablen \( x \) und \( y \):
\[
\begin{align*}
f(x, y) &= 0 \\
g(x, y) &= 0
\end{align*}
\]
Die Jacobimatrix \( J \) des Systems lautet:
\[
J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{bmatrix}
\]
Aktualisierung des Newton-Verfahrens
Die Aktualisierungsformeln für das Newton-Verfahren für ein System von Gleichungen lauten:
\[
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
\Delta y &= \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
daher
\[
\begin{aligned}
x_{n+1} &\approx x_n + \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
y_{n+1} &\approx y_n + \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
wobei \( f \) und \( g \) die Funktionen sind, die an den aktuellen \( (x_n, y_n) \)-Werten ausgewertet werden.
\( f_x, f_y, g_x, g_y \) sind die partiellen Ableitungen von \( f \) und \( g \) bezüglich \( x \) und \( y \).
\(\text{D} = f_x \cdot g_y - f_y \cdot g_x\) ist die Determinante der Jacobimatrix.
Iterativer Prozess
Das Newton-Verfahren aktualisiert iterativ die Variablen \( x \) und \( y \) anhand der obigen Formeln, bis ein Abbruchkriterium erfüllt ist. Zu den gängigen Abbruchkriterien gehören:
Konvergenztoleranz: Stoppen, wenn der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Iterationen unter einem bestimmten Schwellenwert liegt.
Maximale Iterationen: Stoppen nach einer maximalen Anzahl von Iterationen.
1. Initialisierung: Beginnen Sie mit anfänglichen Schätzungen für \( x \) und \( y \):
Eine Möglichkeit, nahe Anfangsschätzungen für die Lösung des Systems zu erhalten, besteht darin, \( f(x,y) \) und \( g(x,y) \) zu grafisch darzustellen, ihre Schnittpunkte zu approximieren und diese als Anfangsschätzungen zu verwenden.
2. Funktionen und Ableitungen auswerten: Berechnen Sie \( f(x, y) \), \( g(x, y) \) und deren partielle Ableitungen an den aktuellen \( (x, y) \)-Werten.
3. Determinante berechnen: Berechnen Sie die Determinante der Jacobimatrix.
4. Variablen aktualisieren: Verwenden Sie die Aktualisierungsformeln des Newton-Verfahrens, um \( \Delta x \) und \( \Delta y \) zu berechnen.
5. Iterieren: Aktualisieren Sie \( x \) und \( y \) mithilfe von \( \Delta x \) und \( \Delta y \) und wiederholen Sie den Vorgang, bis die Konvergenz erreicht ist oder die maximale Anzahl von Iterationen erreicht ist.
6. Die Toleranz \( \epsilon \) wird verwendet, um den Absolutwert von \( f(x,y) \) und \( g(x,y) \) wie folgt zu testen:
Wenn \( |f(x,y)| \lt \epsilon \) und \( |g(x,y)| \lt \epsilon \) sind, wird der Iterationsprozess gestoppt.
7. Der Rechner approximiert eine Lösung nach der anderen.
Das Newton-Verfahren bietet eine robuste und effiziente Möglichkeit, die Lösungen eines Gleichungssystems in zwei Variablen zu approximieren, vorausgesetzt, die anfänglichen Schätzungen sind nahe genug an den tatsächlichen Lösungen und die Funktionen sind in der Umgebung der Lösungen differenzierbar.
Rechner
Ergebnisse
Tabelle einschließlich der Iterationswerte von \( x, y, f(x,y) \) und \( g(x,y) \).
Iteration
\( x \)
\( y \)
\( f(x, y) \)
\( g(x, y) \)
Weitere Referenzen und Links
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
