Eulersche Formel

Herleitung der Eulerschen Formel

Die Herleitung der Eulerschen Formel umfasst Konzepte aus der Analysis, Potenzreihen und komplexen Zahlen. Betrachten Sie die Potenzreihen-Entwicklungen der Exponentialfunktion \( e^x \), der Kosinusfunktion \( \cos(x) \) und der Sinusfunktion \( \sin(x) \). Die Potenzreihenentwicklungen dieser Funktionen sind: \[ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots \] \[ \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \] \[ \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots \] Betrachten Sie nun, was passiert, wenn wir \( ix \) in die Reihenentwicklungen von \( e^x \) einsetzen: \[ e^{ix} = 1 + ix + \dfrac{(ix)^2}{2!} + \dfrac{(ix)^3}{3!} + \dfrac{(ix)^4}{4!} + \dfrac{(ix)^5}{5!} + \cdots \] \[ = 1 + ix - \dfrac{x^2}{2!} - i\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + i\dfrac{x^5}{5!} - \cdots \] Schreiben Sie \( e^{ix} \) als eine komplexe Zahl in der Standardform \( Re + i Im \): \[ e^{ix} = \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) + i \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \] Beachten Sie, dass die gerade potenzierten \( \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) \)-Terme die Reihenentwicklung von \( \cos(x) \) bilden und die ungerade potenzierten \( \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \)-Terme die Reihenentwicklung von \( \sin(x) \). Somit können wir, indem wir sie kombinieren, schreiben: \[ \Large \color{red} {e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)} \]

Identitäten und Formeln im Zusammenhang mit der Eulerschen Formel

Eulersche Identität

Wenn \( x = \pi \), wird die Eulersche Formel: \[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \] Was geschrieben werden kann als: \[ \Large \color{red} { e^{i\pi} + 1 = 0} \] Beachten Sie, dass die obige Gleichung die fünf wichtigsten Konstanten der Mathematik kombiniert: \( e \), \( \pi \), \( i \), \( 1 \) und \( 0 \).

De Moivre'sche Formel

Die Erweiterung der Eulerschen Formel für jede ganze Potenz \( n \): \[ (e^{i x})^n = (\cos(x) + i\sin(x))^n \] Unter Verwendung der Exponentialregel \[ (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos (n x) + i \sin (n x) \] Daraus ergibt sich die de Moivre'sche Formel: \[ \Large \color{red} {(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos (n x) + i \sin (n x)} \] Diese Formel ist äußerst nützlich zur Berechnung von Potenzen komplexer Zahlen.

Eulersche Formel für \( \sin \) und \( \cos \)

Beginnen Sie mit den Entwicklungen von \[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \] und \[ e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x) \] Durch Addieren und Subtrahieren der linken und rechten Seiten erhalten wir: \[ e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \] und \[ e^{ix} - e^{-ix} = 2 i\sin(x) \] Lösen Sie nach \( \cos(x) \) und \( \sin(x) \) auf, um zu erhalten: \[ \Large \color{red} { \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} } \] \[ \Large \color{red} { \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} } \] Diese Identitäten verknüpfen die trigonometrischen Funktionen \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \) mit der Exponentialfunktion \( e^{ix} \). Diese Identitäten haben Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Technik. Sie liefern tiefe Einblicke in die Verbindungen zwischen exponentiellem Wachstum, periodischer Bewegung und komplexen Zahlen.

Trigonometrische Identitäten und die Eulersche Formel

Wir präsentieren ein Beispiel, wie die Eulersche Formel verwendet wird, um trigonometrische Identitäten zu beweisen.

Beispiel

Beweisen Sie die trigonometrische Identität \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

Lösung

Verwenden Sie die Identität \( \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \), um zu schreiben: \[ \sin(A+B) = \dfrac{e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)}}{2i} \quad (I)\] Verwenden Sie die Exponentialeigenschaft \( e^{x+y} = e^x e^y \), um \( e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} \) umzuschreiben als: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = e^{iA} e^{iB} - e^{-iA} e^{-iB} \] Wir verwenden nun die Eulersche Formel, um die Terme auf der rechten Seite zu erweitern: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos (-A) + i \sin(- A))(\cos(- B) + i \sin (-B) )\] Verwenden Sie die Identitäten \( \cos (-A) = \cos A \) und \( \sin(-A) = - \sin A \), um das obige umzuschreiben als: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos A - i \sin A)(\cos B - i \sin B) \] Erweitern Sie die rechte Seite und vereinfachen Sie: \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = 2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B \] Setzen Sie dies in (I) ein, um zu erhalten: \[ \sin(A+B) = \dfrac{2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B}{2i} \] Vereinfachen Sie, um die bekannte trigonometrische Formel zu erhalten: \[ \Large \color{red} { \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B } \]