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Doppelintegral-Berechnungen

Beispiele zur Berechnung und Auswertung von Doppelintegralen werden zusammen mit ihren detaillierten Lösungen vorgestellt. Doppelintegrale über allgemeine Bereiche und Doppelintegrale in Polarkoordinaten sind ebenfalls enthalten. \( \)\( \)\( \)

Überblick über Einzel- und Doppelintegrale

Einzelintegrale werden verwendet, um die Fläche unter der Kurve einer gegebenen Funktion \( f(x) \) zu berechnen, wie in der untenstehenden Grafik gezeigt.
Die Fläche unter der Kurve von \( x = a \) bis \( x = b \) wird durch das Integral \( \displaystyle \int_a^b f(x) \; dx \) berechnet.
Fläche unter der Kurve
Für 3D-Formen interessiert uns die Berechnung des Volumens unter der durch eine Funktion in zwei Variablen \( f(x,y\) definierten Oberfläche, deren Basis \( R \) (grün) ist, wie in der Grafik a) unten gezeigt.
Volumen einer 3D-Form
In der obigen Grafik ist die Basis \( R \) der 3D-Form ein Rechteck, definiert durch \( 0 \le x \le a \) und \( 0 \le y \le b \); aber im Allgemeinen kann \( R \) jede 2D-Form haben, wie wir in weiteren Beispielen sehen werden.
Es gibt zwei Wege, das Volumen der 3D-Form zu berechnen.
1)
Die 3D-Form wird in eine unendliche Anzahl von Querschnittsflächen \( A_1(x) \) aufgeteilt, die senkrecht zur \( x \)-Achse bei festen Werten von \( x \) stehen, wie in der Grafik b) gezeigt, und dann wird das Konzept eines Einzelintegrals verwendet, das im Wesentlichen eine kontinuierliche Summe darstellt, um das Volumen \( V \) wie folgt zu berechnen:
\( \displaystyle V = \int_0^a A_1(x) \; dx \)
Die Querschnittsfläche \( A_1(x) \) ist parallel zur z-y-Ebene und kann durch Integration von \( f(x,y) \) über \( y \) berechnet werden, ähnlich wie bei der Berechnung der Fläche unter einer Kurve:
\( \displaystyle A_1(x) = \int_0^b f(x,y) \; dy \)
Wir setzen nun \( A_1(x) \) in \( V \) ein, um folgendes zu erhalten:
\( \displaystyle V = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \)

2)
Die 3D-Form wird in eine unendliche Anzahl von Querschnittsflächen \( A_2(y) \) aufgeteilt, die senkrecht zur \( y \)-Achse bei festen Werten von \( y \) stehen, wie in der Grafik c) gezeigt, und dann wird das Konzept eines Einzelintegrals verwendet, das im Wesentlichen eine kontinuierliche Summe darstellt, um das Volumen \( V \) wie folgt zu berechnen:
\( V = \displaystyle \int_0^b A_2(y) \; dy \)
Die Querschnittsfläche \( A_2(y) \) ist parallel zur z-x-Ebene und kann durch Integration von \( f(x,y) \) über \( x \) berechnet werden, ähnlich wie bei der Berechnung der Fläche unter einer Kurve:
\( \displaystyle A_2(y) = \int_0^a f(x,y) \; dx \)
Wir setzen nun \( A_2(x) \) in \( V \) ein, um folgendes zu erhalten:
\( \displaystyle V = \int_0^b \int_0^a f(x,y)\; dx \; dy \)
Das Obige wird zusammengefasst als Fubinis Theorem.
\[ \iint_R f(x,y) \,dx\,dy = \int_0^b \int_0^a f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \] Die Region R ist ein Rechteck, definiert durch: \( 0 \le x \le a \) und \( 0 \le y \le b \).
Die obigen Integrale werden als iterierte Integrale bezeichnet.
Alle Formeln und Regeln für Integrale können zur Berechnung dieser Integrale verwendet werden.


Berechnungen von Einzelintegralen mit Integranden, die mehr als eine Variable enthalten

Bevor wir mit Beispielen zur Berechnung von Doppelintegralen beginnen, lassen Sie uns zunächst sehen, wie man Integrale auswertet, wenn der Integrand mehr als eine Variable enthält, da dies die grundlegende Fähigkeit ist, die zur Auswertung von Doppel- und Dreifachintegralen erforderlich ist.
Beispiel 1
Werten Sie die folgenden Integrale aus:
a) \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \) , b) \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \) , c) \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx \) , d) \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \)
Lösung zu Beispiel 1
a)
Um \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \) zu berechnen, betrachten wir \( y \) als konstant, da die Integration über \( x \) erfolgt.
Beachten Sie, dass \( \displaystyle \int (x^2) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3 \) und \( \displaystyle \int ( y^2) \; dx = y^2 x \), da \( y \) und daher \( y^2 \) als konstant angesehen werden. Daher:
\( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx = \left[ \dfrac{1}{3}x^3 + y^2 x \right]_0^3 \)
Setzen Sie die Grenzen ein, um das Integral auszuwerten:
\( = (\dfrac{1}{3}(3)^3 + y^2 (3)) - (\dfrac{1}{3}(0)^3 + y^2 (0)) \)
Vereinfachen:
\( = 3 y^2 + 9 \)
b)
Um \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \) zu berechnen, betrachten wir \( x \) als konstant, da die Integration über \( y \) erfolgt.
Beachten Sie, dass \( \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \; dy = \dfrac{1}{x} y \), da \( x \) und daher \( 1/x \) als konstant angesehen werden, und \( \displaystyle \int \dfrac{1}{y} \; dy = \ln |y|\). Daher:
\( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy = \left[ \dfrac{1}{x} y + \ln |y| \right]_3^5 \)
Setzen Sie die Grenzen ein, um das Integral auszuwerten:
\( = ( \dfrac{1}{x} (5) + \ln |5|) - ( \dfrac{1}{x} (3) + \ln |3| ) \)
Vereinfachen:
\( = \dfrac{2}{x} + \ln(5/3) \)
c)
Um \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} (x y + y) \; dx \) zu berechnen, betrachten wir \( y \) als konstant, da die Integration über \( x \) erfolgt.
Beachten Sie, dass \( \displaystyle \int x y \; dx = \dfrac{1}{2} x^2 y \) und \( \displaystyle \int y \; dx = y x \), da \( y \) als konstant angesehen wird. Daher:
\( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} (x y + y) \; dx = \left[ \dfrac{1}{2} x^2 y + y x \right]_{y+1}^{y^2} \)
Setzen Sie die Grenzen ein, um das Integral auszuwerten, wobei zu beachten ist, dass die Integrationsgrenzen Funktionen von \( y \) sind:
\( = (\dfrac{1}{2} (y^2)^2 y + y (y^2) ) - (\dfrac{1}{2} (y+1)^2 y + y (y+1) ) \)
Vereinfachen:
\( = \dfrac{y^5 + y^3 - 4y^2 - 3y}{2} \)
d)
Um \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin(x y) \; dy \) zu berechnen, betrachten wir \( x \) als konstant, da die Integration über \( y \) erfolgt.
Beachten Sie, dass \( \displaystyle \int \sin(x y) \; dy = - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \), da \( x \) als konstant angesehen wird. Daher:
\( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin(x y) \; dy = \left[ - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \right]_0^{x-1} \)
Setzen Sie die Grenzen ein, um das Integral auszuwerten, wobei zu beachten ist, dass die Integrationsgrenzen Funktionen von \( x \) sind:
\( = (- \dfrac{1}{x} \cos(x(x-1)) ) - (- \dfrac{1}{x} \cos(x(0)) ) \)
Vereinfachen:
\( = - \dfrac{1}{x} \cos(x^2 - x) + \dfrac{1}{x} \)


Berechnungen von Doppelintegralen

Die Hauptidee bei der Berechnung von Doppelintegralen besteht darin, das Doppelintegral in zwei Einzelintegrale aufzuteilen. Es gibt zwei Möglichkeiten, Doppelintegrale auszuwerten:
1) Das Integral zuerst in \( x \) auswerten:
\( \displaystyle \int_0^b \int_0^a f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^b \left(\int_0^a f(x,y) \; dx \right) \; dy \)
2) Das Integral zuerst in \( y \) auswerten:
\( \displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^a \left(\int_0^b f(x,y) \; dy \right) \; dx \)
Hinweis Eine Möglichkeit, ein Doppelintegral auszuwerten, besteht darin, die inneren und äußeren Integrale getrennt auszuwerten.

Beispiel 2
Verwenden Sie beide oben genannten Methoden, um das Doppelintegral \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \; dx \; dy \) auszuwerten.
Lösung zu Beispiel 2
1) Wir berechnen das Integral zuerst in \( x \) und dann das Integral in \( y \).
\( \displaystyle V = \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \; dx \; dy = \int_1^3 \left(\int_0^4 (x^2-y+2) \; dx \right) \; dy \)
Zuerst werten wir das innere Integral \( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) \; dx \) aus, wobei \( y \) als konstant angenommen wird, ähnlich wie bei der Berechnung von partiellen Ableitungen.
\( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) \; dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - y x + 2 x \right]_{x = 0}^{x=4} \)
Werten Sie das obige Integral aus:
\( I = \displaystyle (\dfrac{1}{3} 4^3 - 4y + 2 \cdot 4) - (\dfrac{1}{3} 0^3 - y (0) + 2 (0)) \)
Vereinfachen:
\( I = \left[ -4y + \dfrac{88}{3} \right] \)
Setzen Sie \( I \) in \( V \) ein und berechnen Sie das äußere Integral:
\( \displaystyle V = \int_1^3 \left( -4y + \dfrac{88}{3} \right) \; dy \)
Werten Sie das Integral aus:
\( \displaystyle V = \left[ -2y^2 + \dfrac{88}{3}y \right]_{y=1}^{y=3} \)
\( \displaystyle V = (-2(3)^2 + \dfrac{88}{3}(3)) - (-2(1)^2 + \dfrac{88}{3}(1)) \)
\( \displaystyle V = \dfrac{128}{3} \)

2) Wir berechnen das Integral zuerst in \( y \) und dann das Integral in \( x \).

\( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \; dx \; dy = \int_0^4 \left(\int_1^3 (x^2-y+2) \; dy \right) \; dx \)
Werten Sie das innere Integral \( I = \displaystyle \int_1^3 (x^2-y+2) \; dy \) aus, wobei \( x \) als konstant angenommen wird:
\( I = \left[ x^2 y - \dfrac{1}{2} y^2 x + 2 x y \right]_{y = 1}^{y=3} \)
\( = \displaystyle \left( (x^2 (3) - \dfrac{1}{2} (3)^2 x + 2 x (3)) - (x^2 (1) - \dfrac{1}{2} (1)^2 x + 2 x (1)) \right) \)
Vereinfachen:
\( I = 2x^2 \)
Setzen Sie \( I \) in \( V \) ein:
\( \displaystyle V = \int_0^4 2x^2 \; dx \)
Werten Sie das obige Integral aus:
\( V = \displaystyle \left[ \dfrac{2}{3} x^3 \right]_{x=0}^{x=4} \)
\( V = \dfrac{128}{3} \)
Anmerkungen
1) Beide Methoden zur Aufteilung des Integrals führen zum gleichen Ergebnis.
2) Obwohl wir ein Doppelintegral berechnet haben, haben wir tatsächlich mit Einzelintegralen gearbeitet, und natürlich können alle Formeln und Eigenschaften von Integralen verwendet werden.


Weitere Beispiele mit Lösungen

Beispiel 3
Werten Sie das Doppelintegral \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 \sqrt{2+x+y} \; dx \; dy \) aus.
Lösung zu Beispiel 3
Beginnen Sie mit dem inneren Integral:
Sei \( \displaystyle I = \int_0^4 \sqrt{2+x+y} \; dx \)
Werten Sie \( I \) aus:
\( \displaystyle I = \left[ \dfrac{2}{3} (2+x+y)^{3/2} \right]_0^4 \)
Werten Sie das obige Integral aus:
\( \displaystyle I = \left( \dfrac{2}{3} (2+4+y)^{3/2} - \dfrac{2}{3} (2+0+y)^{3/2} \right) \)
Vereinfachen:
\( \displaystyle I = \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \)
Setzen Sie das innere Integral \( I \) in \( V \) ein:
\( \displaystyle V = \int_1^3 \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \; dy \)
Werten Sie die obigen Integrale aus:
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+y)^{5/2} - (2+y)^{5/2} \right]_1^3 \)
Werten Sie das Integral unter Verwendung der Integrationsgrenzen aus:
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+3)^{5/2} - (2+3)^{5/2} \right] - \dfrac{4}{15} \left[ (6+1)^{5/2} - (2+1)^{5/2} \right] \)
\( \displaystyle \approx 19,48 \)


Beispiel 4 Integrationsgrenzen können Variablen enthalten
Werten Sie das Doppelintegral \( \displaystyle V = \int _{1}^2 \int _{y-1}^{y} \left(x + \dfrac{1}{y}\right) \; dx \; dy \) aus.
Lösung zu Beispiel 4
Sei das innere Integral \( \displaystyle I = \int _{y-1}^{y} \left(x + \dfrac{1}{y}\right) \; dx \)
Werten Sie das obige Integral aus:
\( I = \left[ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{y} \right]_{y-1}^{y} \)
Werten Sie \( I \) unter Verwendung der Integrationsgrenzen aus:
\( I = \left( \dfrac{(y)^2}{2} + \dfrac{y}{y} \right) - \left( \dfrac{(y-1)^2}{2} + \dfrac{y-1}{y} \right) \)
Vereinfachen:
\( I = y - 1/2 + \dfrac{1}{y} \)
Setzen Sie \( I \) in \( V \) ein und berechnen Sie das äußere Integral:
\( \displaystyle V = \int _{1}^2 (y - 1/2 + \dfrac{1}{y}) \; dy \)
Werten Sie das obige Integral aus:
\( \displaystyle V = \left[ \dfrac{y^2}{2} - \dfrac{y}{2} + \ln |y| \right]_1^2 \)
\( \displaystyle V = (\dfrac{(2)^2}{2} - \dfrac{(2)}{2} + \ln |(2)|) - (\dfrac{(1)^2}{2} - \dfrac{(1)}{2} + \ln |(1)|) \)
Vereinfachen:
\( V = \ln 2 + 1 \)


Beispiel 5
Werten Sie das Doppelintegral \( \displaystyle V = \int _0^{\pi} \int _0^1 \left(x \sin(x^2) + y\right) \; dy \; dx \) aus.
Lösung zu Beispiel 5
Sei das innere Integral \( \displaystyle I = \int _0^1 \left(x \sin(x^2) + y\right) \; dy \)
Werten Sie das obige Integral aus:
\( I = \left[ x \sin(x^2) y + \dfrac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
Werten Sie \( I \) unter Verwendung der Integrationsgrenzen aus:
\( I = x \sin(x^2) + \dfrac{1}{2} \)
Setzen Sie \( I \) in \( V \) ein und berechnen Sie das äußere Integral:
\( \displaystyle V = \int _{0}^{\pi} (x \sin(x^2) + \dfrac{1}{2}) \; dx \)
Werten Sie das obige Integral aus:
\( \displaystyle V = \left[-\dfrac{1}{2} \cos(x^2) + \dfrac{1}{2} x \right]_0^{\pi} \)
Vereinfachen:
\( \displaystyle V = \dfrac{-\cos(\pi^2) + \pi + 1}{2} \)


Beispiel 6
Finden Sie die Konstante \( k \), so dass \( \displaystyle \int _0^1 \int _0^3 k x^2 (y+1) \; dy \; dx = 5 \).
Lösung zu Beispiel 6
Sei \( \displaystyle V = \int _0^1 \int _0^3 k x^2 (y+1) \; dy \; dx \).
Sei das innere Integral \( \int _0^3 k x^2 (y+1) \; dy \).
Werten Sie \( I \) aus:
\( I = \left[ k x^2 \left(\dfrac{y^2}{2} + y\right) \right]_0^3 = k \dfrac{15}{2} x^2 \).
Setzen Sie \( I \) in \( V \) ein:
\( \displaystyle V = \int _0^1 k \dfrac{15}{2} x^2 \; dx \).
Werten Sie \( V \) aus:
\( V = \left[\dfrac{5 k}{2} x^3 \right]_0^1 = \dfrac{5 k}{2} \).
Nun lösen wir nach \( k \) auf:
\( k = 2 \).


Beispiel 7
Finden Sie die Konstante \( b \), so dass \( \displaystyle \int _1^2 \int _0^b (2x+y) \; dy \; dx = 10 \) und \( b > 0 \).
Lösung zu Beispiel 7
Sei \( \displaystyle V = \int _1^2 \int _0^b (2x+y) \; dy \; dx \).
Sei \( I \) das innere Integral:
\( I = \displaystyle \int _0^b (2x+y) \; dy \).
Werten Sie \( I \) aus:
\( \displaystyle I = \left[\dfrac{y^2}{2} + 2xy \right]_0^b = \dfrac{b^2}{2} + 2bx \).
Setzen Sie \( I \) in \( V \) ein und werten Sie \( V \) aus:
\( \displaystyle V = \int _1^2 \left(\dfrac{b^2}{2} + 2bx\right) \; dx \).
\( = \left[ \dfrac{b^2}{2}x + bx^2 \right]_1^2 \).
\( = \dfrac{b^2}{2} + 3b \).
Um \( b \) zu finden, müssen wir die Gleichung lösen:
\( \dfrac{b^2}{2} + 3b = 10 \).
Lösen Sie die obige Gleichung:
und wählen Sie die positive Lösung:
\( b = -3 + \sqrt{29} \).


Weitere Fragen mit Antworten

Teil 1: Berechnen Sie die folgenden Integrale:
  1. \( \displaystyle \int _1^2 \int _0^4 \left( x^2 + y^2 \right) \; dy \; dx \)
  2. \( \displaystyle \int _2^4 \int _1^4 \left(x^2 + \dfrac{1}{y}\right) \; dy \; dx \)
  3. \( \displaystyle \int _2^3 \int _1^5 \left(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}\right) \; dx \; dy \)
  4. \( \displaystyle \int _0^{\frac{\pi}{2}} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x+y)\right) \; dy \; dx \)
Teil 2: Finden Sie \( b \), das nicht gleich \( -1 \) oder \( -2 \) ist, so dass \( \displaystyle \int _{-1}^b \int _{-2}^b \left(x \cdot y \cdot e^{x^2+y^2}\right) \; dy \; dx = 0 \).


Antworten auf die obigen Fragen

Teil 1:
  1. \( \dfrac{92}{3} \)
  2. \( 4 \ln (2) + 56 \)
  3. \( \dfrac{5}{2} \ln (5) + 12 \ln (3/2) \)
  4. \( 2 \)
Teil 2: \( \displaystyle \int _{-1}^b \int _{-2}^b \left(x \cdot y \cdot e^{x^2+y^2}\right) \; dy \; dx = \dfrac{1}{4} \left(e^{b^2} - e^4\right) \left(e^{b^2} - e\right) \).
Lösen Sie die Gleichung: \( \dfrac{1}{4} \left(e^{b^2} - e^4\right) \left(e^{b^2} - e\right) = 0 \),
die zwei Lösungen ergibt: \( b = 1 \) und \( b = 2 \).



Weitere Referenzen und Links

Fläche unter der Kurve
Integrale auswerten
Formeln und Regeln für Integrale in der Analysis
Fubinis Theorem
Gilbert Strang; MIT, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, 1991.
Joel Hass, University of California, Davis; Maurice D. Weir, Naval Postgraduate School; George B. Thomas, Jr., Massachusetts Institute of Technology; University Calculus, Early Transcendentals, Third Edition, Boston Columbus, 2016, Pearson.
Ingenieurmathematik mit Beispielen und Lösungen