Beispiele zur Anwendung von Doppelintegralen zur Berechnung von Volumen und Flächen werden zusammen mit detaillierten Lösungen vorgestellt.
\( \)\( \)\( \)
Volumen mit Doppelintegralen berechnen
Das Volumen \( V \) des Körpers, der über dem Bereich \( R \) in der \( xy\)-Ebene und unter der Oberfläche \( z = f(x,y) \) liegt, wobei \( f(x,y) \ge 0 \) gilt, wird durch das Doppelintegral [6] gegeben:
\[ \displaystyle V = \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \]
Beispiel 1
Verwenden Sie das Doppelintegral, um das Volumen des Körpers zu berechnen, der zwischen der Ebene \( z = 0 \) und dem Paraboloid \( z = 4 - x^2 - y^2 \) liegt.
Lösung zu Beispiel 1
Der Körper zwischen der Ebene \( z = 0 \) und dem Paraboloid ist unten dargestellt.
Abb.1 - Volumen zwischen der Ebene \( z = 0 \) und dem Paraboloid \( z = 4 - x^2 - y^2 \)
Der Integrationsbereich \( R \) ist der Schnittpunkt des Paraboloids mit der Ebene \( z =0 \), der durch das Setzen von \( z = 0 \) in die Gleichung des Paraboloids ermittelt wird:
\( 0 = 4 - x^2 - y^2 \)
Umgeschrieben in die Standardform:
\( x^2 + y^2 = 2^2 \)
Dies ist ein Kreis auf der \( xy \)-Ebene (oder \( z = 0 \)) mit dem Zentrum bei \( (0,0) \) und einem Radius von \( 2 \).
Abb.2 - Integrationsbereich \( R \), ein Kreis mit dem Zentrum bei \( (0,0) \) und einem Radius von \( 2 \)
Da der Integrationsbereich ein Kreis ist, ist es effizienter, Doppelintegrale in Polarkoordinaten zu verwenden.
Das Volumen \( V \) wird mit dem Doppelintegral berechnet:
\( V = \displaystyle \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \), wobei \( R \) der Integrationsbereich ist, der definiert ist durch:
\( R: 0\le \theta \le 2\pi , 0 \le r \le 2 \)
Dies ist der Kreis in Abb.2 und \( f(x,y) = z = 4 - x^2 - y^2 \).
In Polarkoordinaten ist das Volumen gegeben durch:
\( \displaystyle V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4-r^2) r \, dr \, d\theta \)
\( \displaystyle V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4-r^2) r \, dr \, d\theta \)
\( = \int_0^{2\pi} \left[2r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^2 \, d\theta \)
\( = \int_0^{2\pi} ( 4 ) \, d\theta \)
\( = 8 \pi \)
Beispiel 2
Finden Sie die Konstante \( a \) (siehe Diagramm unten), so dass das Volumen des Körpers, der über dem Bereich \( R \) liegt, der in der \( xy \)-Ebene unten dargestellt ist, und unter der Oberfläche, die durch die Gleichung \( z = \sqrt{1-x^2-y^2} \) definiert wird, gleich \( 1 \) Kubikeinheit ist.
Abb.3 - Gegebener IntegrationsbereichLösung zu Beispiel 2
Zunächst wandeln wir den gegebenen Bereich in Abb.2 in Polarkoordinaten um. Der äußere Halbkreis \( y = \sqrt{1-x^2} \) hat einen Radius von \( 1 \) und der innere Halbkreis \( y = \sqrt{a^2-x^2} \) hat einen zu bestimmenden Radius \( a \).
Abb.4 - Integrationsbereich in Polarkoordinaten
Der Integrationsbereich in Polarkoordinaten kann definiert werden als:
\( R: 0\le \theta \le \pi , a \le r \le 1 \)
In Polarkoordinaten:
\( z = \sqrt{1-x^2-y^2} = \sqrt{1-r^2} \)
In Polarkoordinaten ist das Volumen gegeben durch:
\( \displaystyle V = \int_0^{\pi} \int_a^1 \sqrt{1-r^2} r \, dr \, d\theta \)
\( \displaystyle = \int_0^{\pi} \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} \, d\theta \)
\( = \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} \pi \)
Wir wollen, dass das Volumen \( V \) gleich \( 1 \) ist, daher:
\( \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} \pi = 1 \)
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( a \) auf:
\( a = \sqrt{1-\sqrt[3]{\dfrac{9}{\pi ^2}}} \approx 0,174 \)
Beispiel 3
Finden Sie \( a \), so dass das Volumen des Tetraeders, das von den Ebenen \( 2x + 2 y + z = a , a \gt 0\), \( y = 2 x \), \( y = 0\) und \( z = 0 \) begrenzt wird, gleich \( 10 \) Kubikeinheiten ist.
Lösung zu Beispiel 3
Unten sind die Ebenen dargestellt, die den zu berechnenden Festkörper definieren.
Abb.5 - Ebenen, die den Festkörper definieren
Zuerst finden wir den Integrationsbereich, der ein Dreieck ist, definiert durch die drei Scheitelpunkte: \( O , B \) und \( C \).
\( O \) ist der Ursprung des Koordinatensystems.
\( B \) ist der Schnittpunkt und die \( x \)-Achse und wird durch Setzen von \( z = 0 \) und \( y = 0 \) in die Gleichung der gegebenen Ebene \( 2x + 2 y + z = a \) gefunden.
\( 2x = a \)
Lösen Sie nach \( x \) auf:
\( x = \dfrac{a}{2} \)
\( C \) ist der Schnittpunkt der Ebenen \( 2x + 2 y + z = a \) und \( y = 2 x \) und liegt in der \( xy \)-Ebene. Ein Punkt in der \( xy \)-Ebene hat \( z = 0 \).
Punkt \( C \) wird durch Setzen von \( z = 0 \) in die Gleichung \( 2x + 2 y + z = a \) gefunden, indem man die erhaltene Gleichung löst:
\( 2x + 2 y = a \) und \( y = 2 x \)
Lösen Sie die Gleichungen durch Substitution:
\( y = a/3 \) und \( x = a/6 \)
Daher ist der Integrationsbereich \( R \) in der \( xy \)-Ebene ein Dreieck mit den Scheitelpunkten:
\(O(0,0)\), \( B(a/2,0) \) und \(C(a/6,a/3)\)
Abb.6 - Integrationsbereich
Das Volumen \( V \) des Tetraeders wird gegeben durch:
\( V = \displaystyle \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \), wobei \( R \) der Integrationsbereich ist, der definiert ist durch:
\( R: \dfrac{y}{2} \le x \le \ \dfrac{a}{2} - y , 0 \le y \le \dfrac{a}{3} \)
und:
\( f(x,y) = z = a - 2x - 2 y \)
\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \int_{\frac{y}{2}}^{ \frac{a}{2} - y} (a - 2x - 2 y) \;dx \;dy \)
Berechnen Sie das innere Integral:
\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \left[ax-2yx-x^2\right]_{\frac{y}{2}}^{ \frac{a}{2} - y} \;dy \)
\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \left(\frac{9y^2-6ay+a^2}{4}\right) \;dy \)
Berechnen Sie das äußere Integral:
\( V = \left[ \frac{1}{4} \left(3y^3-3a y^2+a^2 y \right) \right]_0^{\frac{a}{3}} \)
\( V = \frac{a^3}{36} \)
Hinweis: Sie können überprüfen, ob das obige Ergebnis dem entspricht, was man durch die bekannte Formel für das Volumen eines Tetraeders erhält:
\( V = \dfrac{1}{3} A \times H \)
wobei \( A \) die Fläche der Basis und \( H \) die Höhe von der Basis bis zur Spitze des Tetraeders ist.
Sie können dies überprüfen, wenn Sie möchten.
Um das Volumen gleich \( 10 \) zu machen:
\( \frac{a^3}{36} = 10 \)
Lösen Sie nach \( a \) auf:
\( a = \sqrt[3]{360} \approx \:7,11378 \)
Fläche einer Oberfläche mit Doppelintegralen berechnen
Die Fläche \( A \) eines Bereichs \( R \) in der \( xy \)-Ebene wird durch das Doppelintegral [6] gegeben:
\[ A = \displaystyle \iint_R 1 \;dy \;dx \]
Beispiel 4
Verwenden Sie das Doppelintegral, um die Fläche des Bereichs zu berechnen, der von den Kurven \( y = x^2 \) und \( y = - (x-2)^2 +4 \) begrenzt wird.
Lösung zu Beispiel 4
Zuerst zeichnen wir die beiden Kurven und definieren den von den beiden Kurven begrenzten Bereich.
Abb.7 - Integrationsbereich
Die beiden Kurven schneiden sich an den Punkten, die Lösungen des Gleichungssystems der beiden Kurven sind:
\( y = x^2 \) und \( y = - (x-2)^2 +4 \)
Die Lösungen können durch Substitution ermittelt werden:
\( x^2 = - (x-2)^2 +4 \)
Entwickeln und vereinfachen:
\( 2 x^2 - 4x = 0 \)
\( 2x(x-4) = 0 \)
Die obigen Gleichungen haben zwei Lösungen:
\( x = 0 \) und \( x = 4 \)
Verwenden Sie \( y = x^2 \), um die \( y \)-Koordinate zu berechnen und die Punkte zu erhalten:
\((0,0) \) und \((2,4) \)
Der Bereich \( R \), der von den beiden Kurven eingeschlossen wird, kann wie folgt definiert werden:
\( R: 0 \le x \le 2 , x^2 \le y \le - (x-2)^2 +4 \)
Die Fläche \( A \) wird gegeben durch:
\( A = \displaystyle \int_0^2 \int_{x^2}^{- (x-2)^2 +4} 1 \;dy \;dx \)
Berechnen Sie das innere Integral:
\( A = \displaystyle \int_0^2 \left[y \right]_{x^2}^{- (x-2)^2 +4} \;dx \)
Vereinfachen:
\( A = \displaystyle \int_0^2 (-2x^2+4x) \;dx \)
\( A = \left[-\frac{2x^3}{3}+2x^2\right]_0^2 = 8/3 \)
Beispiel 5
Verwenden Sie das Doppelintegral, um die Fläche des Bereichs zu berechnen, der den beiden Kreisen mit den Gleichungen \( x^2 + (y-2)^2 = 9 \) und \( x^2 + y^2 = 9 \) gemeinsam ist.
Lösung zu Beispiel 5
Zuerst zeichnen wir die beiden Kreise und definieren den Bereich, der von beiden Kreisen gemeinsam eingeschlossen wird. Der Bereich, der beiden Kreisen gemeinsam ist, ist hellblau dargestellt.
Abb.7 - Gemeinsamer Bereich der beiden Kreise
Die Schnittpunkte werden gefunden, indem das Gleichungssystem gelöst wird:
\( x^2 + (y-2)^2 = 9 \) und \( x^2 + y^2 = 9 \)
Entwickeln Sie die Gleichung auf der linken Seite:
\( x^2 + y^2 - 4 y + 4 = 9 \)
\( x^2 + y^2 = 9 \)
Subtrahieren Sie die Gleichungen:
\( - 4 y + 4 = 0 \)
Lösen Sie nach \( y \) auf:
\( y = 1 \)
Setzen Sie \( y = 1 \) in eine der Gleichungen ein und lösen Sie nach \( x \) auf, um zu erhalten:
\( x = \pm 2 \sqrt{2} \)
Wir können jetzt den Bereich \( R \) definieren als:
\( R: -2\sqrt{2} \le x \le 2\sqrt{2} , 2 - \sqrt{9-x^2} \le y \le \sqrt{9-x^2} \)
Die Fläche des Bereichs \( R \) wird gegeben durch:
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \int_{2 - \sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} 1 \;dy \;dx \)
Berechnen Sie das innere Integral:
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \; \left[ y \right]_{2 - \sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \; \;dx \)
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \left( 2 \sqrt{9-x^2} - 2 \right) \;dx \)
\( A = \left[ x\sqrt{9-x^2} + 9\arcsin(x/3) - 2x \right]_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \)
Hinweis: Die Details des Integrals \( \int \sqrt{9-x^2}dx \) sind in Anhang A enthalten.
Berechnen Sie \( A \):
\( A = 18\arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) - 4\sqrt{2} \approx 16,5 \)
Anhänge
Anhang A
Berechnen Sie das Integral:
\( \displaystyle I = \int \sqrt{9-x^2}dx \)
Substituieren Sie:
\( x = 3 \sin u \), was \( u = \arcsin(x/3) \) und \( dx = 3 \cos u \, du \) ergibt.
\( 9 - x^2 = 9 - 9 \sin^2 u \)
\( = 9(1-\sin^2) = 9 \cos^2 u \)
und
\( \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9 \cos^2 u} = 3 \cos u \)
Substituieren und schreiben Sie:
\( \displaystyle I = \int \sqrt{9-x^2} \, dx = \int (3 \cos u) \, 3 \cos u \, du \)
\( \displaystyle = 9 \int \cos^2 u \, du \)
Verwenden Sie die trigonometrische Identität zur Potenzreduktion, um \( \cos^2 u = \dfrac{\cos(2u)+1}{2} \) zu schreiben.
\( \displaystyle = \dfrac{9}{2} \int \left( \cos(2u)+1\right) du \)
Berechnen Sie:
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{\sin (2u)}{2} + u \right) \)
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin (2u) = 2 \sin u \cos u \).
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \sin u \cos u + u \right) \)
Setzen Sie \( u = \arcsin(x/3) \), \( \sin u = \dfrac{x}{3} \), \( \cos u = \sqrt{1-\sin^2 u } = \sqrt{1 - x^2/9} \) ein, um zu schreiben:
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{x}{3} \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{9}} + \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) \right) \)
\( \displaystyle I = \dfrac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \dfrac{9}{2} \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) \)
Weitere Fragen mit Antworten
Teil 1
Finden Sie das Volumen des Körpers, der von den Ebenen \( x = 1 \), \( x = 2 \), \( y = 0 \), \( y = 2 \), \( z = 0 \) begrenzt wird und unter dem hyperbolischen Paraboloid \( z = 20 + x^2 - 2y^2 \) liegt.
Finden Sie das Volumen des Körpers, der von den Ebenen \( y = 2 \), \( z = 0 \) begrenzt wird und unter der Oberfläche \( z = 9-x^2 \) liegt.
Finden Sie das Volumen des Körpers, der vom Zylinder \( 9 - x^2 - y^2 = 0 \), \( z = 0 \) begrenzt wird und unter der Ebene \( z=5+0,5x+y \) liegt.
Finden Sie die Fläche des Bereichs in der \( xy \)-Ebene, der von dem Kreis mit der Gleichung \( x^2 + y^2 = 4 \) und der Linie \( y = - 1 \) eingeschlossen wird.
Joel Hass, University of California, Davis; Maurice D. Weir Naval Postgraduate School; George B. Thomas, Jr., Massachusetts Institute of Technology ; University Calculus , Early Transcendentals, Third Edition
, Boston Columbus, 2016, Pearson.
