Die Auswertung des Gaußschen Integrals \( \displaystyle I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) unter Verwendung von Doppelintegralen und Polarkoordinaten wird vorgestellt.
Das Gaußsche Integral ist wie folgt definiert:
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \]
und wir müssen \( I \) auswerten.
Wir stellen zunächst fest, dass die Integrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) und \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \) gleiche Werte haben. Wir können daher schreiben:
\( I^2 = \displaystyle \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right) \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \right) \)
Das Obige kann als Doppelintegral wie folgt geschrieben werden:
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy \)
Sei \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \), \( r^2 = x^2 + y^2 \) die Beziehungen zwischen den rechteckigen und Polarkoordinaten, und verwenden Sie die oben angegebene Änderung des Integrals von rechteckigen zu Polarkoordinaten (I).
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr \;d\theta \)
Beachten Sie, dass \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr = -(1/2) e^{-r^2} \), was ergibt:
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left[-(1/2) e^{-r^2}\right]_0^{\infty} \;d\theta \)
was wie folgt geschrieben werden kann:
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} (-1/2) \left[e^{-\infty}-e^0 \right] \;d\theta \)
Beachten Sie, dass bei Verwendung von Grenzen \( e^{-\infty} = \lim_{a\to\infty} e^{-a} = 0 \) ist. Wir werten nun aus:
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2} \;d\theta \)
Werten Sie das obige Integral aus:
\( I^2 = \dfrac{1}{2} \left[\theta\right]_0^{2\pi} \)
\( = \dfrac{1}{2} \left[2\pi - 0 \right] \)
\( = \pi \)
Bisher haben wir \( I^2 = \pi \) berechnet, und daher ergibt sich durch Ziehen der Quadratwurzel:
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]