Gamma-Funktionsrechner
Inhaltsverzeichnis
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Ein benutzerfreundlicher Rechner zur Berechnung der Gamma-Funktion \( \Gamma \; (z) \), definiert durch das Integral
\[ \displaystyle \Gamma (z) = \int_0^{\infty} \; t^{z-1}e^{-t} \; dt \]
wird präsentiert.
Der Graph der Gamma-Funktion \( \Gamma (x) \) für reelle \( x \) sowie ihr Reziprokum \( \dfrac{1}{\Gamma (x)} \) werden unten gezeigt.
Eigenschaften der Gamma-Funktion
Es kann gezeigt werden, dass für positive ganze Zahlen
\[ \Gamma(n) = (n - 1)! \]
daher
\( \quad \Gamma(1) = (1 - 1)! = 0! = 1 \)
\( \quad \Gamma(2) = (2 - 1)! = 1! = 1 \)
\( \quad \Gamma(3) = (3 - 1)! = 2! = 2 \)
\( \quad \Gamma(4) = (4 - 1)! = 3! = 6 \)
Werte, die im obigen Graphen überprüft werden können.
Die Gamma-Funktion \( \Gamma(z) \) wird verwendet, um die Fakultätsfunktion auf komplexe Zahlen zu erweitern.
Unter Verwendung von unbestimmten Integralen und partieller Integration kann gezeigt werden, dass
\[ \Gamma(z+1) = z \Gamma(z) \]
für \( z \) in der komplexen Ebene, sodass \( \Re (z) \gt 0 \)
Verwendung des Rechners
Geben Sie die Real- und Imaginärteile \( Re \; z\) und \(Im \; z \) des Arguments \( z \) der Gamma-Funktion ein, sowie die gewünschte Anzahl von Dezimalstellen, und klicken Sie dann auf "Berechnen".
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Weitere Referenzen und Links