Winkel zwischen zwei Vektoren in sphärischen Koordinaten - Rechner
Verwendete Formeln in den Berechnungen
Bei gegebenen zwei Vektoren durch ihre sphärischen Koordinaten berechnet dieser Rechner den Winkel \( \alpha \) zwischen den beiden Vektoren..
Gegeben sind zwei Vektoren, deren Anfangspunkt der Ursprung eines Systems sphärischer Koordinaten ist und deren Endpunkte \( P_1(\rho_1,\theta_1,\phi_1) \) und \( P_2(\rho_2,\theta_2,\phi_2) \) durch ihre sphärischen Koordinaten gegeben sind.
Abb. 1 - Winkel \( \alpha\) zwischen zwei Vektoren
Zuerst konvertieren wir die Koordinaten der Punkte \( P_1 \) und \( P_2 \) in kartesische Koordinaten \( P_1(x_1,y_1,z_1) \) und \( P_2(x_2,y_2,z_2) \) wobei
\( x_1 = \rho_1 \sin \phi_1 \cos \theta_1 \) , \( y_1 = \rho_1 \sin \phi_1 \sin \theta_1 \) , \( z_1= \rho_1 \cos \phi_1 \)
\( x_2 = \rho_2 \sin \phi_2 \cos \theta_2 \) , \( y_2 = \rho_2 \sin \phi_2 \sin \theta_2 \) , \( z_2= \rho_2 \cos \phi_2 \)
Die Vektoren \( \vec{OP_1} = \vec V_1 \) und \( \vec{OP_2} = \vec V_2 \) haben die Komponenten
\( \vec V_1 < x_1 , y_1 , z_1 > \) und \( \vec V_2 < x_2 , y_2 , z_2 > \)
Das Skalarprodukt von \( \vec V_1 \) und \( \vec V_2 \) ist gegeben durch
\( \vec V_1 \cdot \vec V_2 = ||\vec V_1 || \cdot ||\vec V_1 || \cos \alpha \)
Daher
\( \alpha = \arccos \left(\dfrac {\vec V_1 \cdot \vec V_2}{||\vec V_1 || \cdot ||\vec V_1 ||} \right) \)
wo
\( \vec V_1 \cdot \vec V_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \)
und
\( ||\vec V_1 || = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \) und \( ||\vec V_2 || = \sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \)
Beachten Sie, dass wenn \( ||\vec V_1 || = 0 \) oder \( ||\vec V_2 || = 0 \), der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht definiert ist
Verwenden Sie den Rechner, um den Winkel zwischen zwei Vektoren in sphärischen Koordinaten zu berechnen
1 - Geben Sie die sphärischen Koordinaten \( \rho_1 \) , \( \theta_1 \), \( \phi_1 \) des Punktes \( P_1 \) ein, und die sphärischen Koordinaten \( \rho_2\) , \( \theta_2\), \( \phi_2 \) des Punktes \( P_2 \) ein, wählen Sie die gewünschten Einheiten für die Winkel aus, und drücken Sie die Schaltfläche "Berechnen". Sie können auch die Anzahl der Dezimalstellen nach Bedarf ändern; diese muss eine positive ganze Zahl sein.
