Fourier-Transformation mit Beispielen
Inhaltsverzeichnis
Definition der Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion der Zeit (oder ein Signal) in den Frequenzbereich.
Mathematisch wird sie definiert als [1], [2], [3]:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
Dabei ist \( F(\omega) \) die Fourier-Transformation der Funktion \( f(t) \)
, \( \omega \) die Kreisfrequenz und \( j \) die imaginäre Einheit, definiert durch \( j = \sqrt {-1} \).
Wir haben auch die inverse Fourier-Transformation, die \( F(\omega) \) zurück in den Zeitbereich transformiert:
\[ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
Beispiel 1: Fourier-Transformation einer Rechteckwelle
Betrachten wir die Rechteckwellenfunktion \( f(t) \), definiert durch:
\[
f(t) = \begin{cases} 1, & \text{wenn } -\dfrac{T}{2} \leq t \leq \dfrac{T}{2} \\ 0, & \text{ansonsten} \end{cases}
\]
Die Fourier-Transformation von \( f(t) \) wird definiert durch:
\[
F(\omega) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-j\omega t} dt
\]
Berechnen wir dieses Integral:
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left[ e^{-j\omega t}\right]^{T/2}_{-T/2}
\]
\[
= \dfrac{1}{-j\omega} \left( e^{-j\omega \dfrac{T}{2}} - e^{j\omega \dfrac{T}{2}} \right)
\]
Verwenden Sie Eulers Formel \( e^{j \; x} = \cos(x)+ j \; \sin(x) \), um das obige Integral umzuschreiben:
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left( \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) \right)
\]
\[
= \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
Daher lautet die Fourier-Transformation der Rechteckwellenfunktion:
\[
F(\omega) = \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
Dies ist das Amplitudenspektrum der Rechteckwellenfunktion. Es zeigt, wie die Amplitude der verschiedenen Frequenzkomponenten mit der Frequenz variiert.
Beispiel 2: Fourier-Transformation der Sinusfunktion
Finden Sie die Fourier-Transformation einer Sinusfunktion, definiert durch:
\[ f(t) = A \sin( \omega_0 t) \]
Dabei gilt:
- \( A \) ist die Amplitude der Sinuswelle,
- \( \omega_0 \) ist die Kreisfrequenz der Sinuswelle,
- \( t \) ist die Zeit.
Die Fourier-Transformation von \( f(t) \) wird gegeben durch:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
Setzen Sie \( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \) ein:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} A \sin( \omega_0 t) e^{-j\omega t} dt \]
Wir können die Sinusfunktion mithilfe von Eulers Formel umschreiben:
\[ \sin(x) = \dfrac{e^{jx} - e^{-jx}}{2\;j} \]
Somit haben wir:
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{j(\omega_0 - \omega t)} - e^{-j(\omega_0 t + \omega t)}) dt \]
Bewerten wir diese Integrale separat:
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2 \; j} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(\omega_0 t - \omega t)} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega_0 + \omega t)} dt \right) \]
Wir können die Eigenschaften der Dirac-Delta-Funktion verwenden, um diese Integrale zu bewerten. Wenn \( \omega = \omega_0 \) ist, ergibt das erste Integral \( 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \), und das zweite Integral ergibt \( 2\pi \delta(\omega + \omega_0) \).
Daher lautet die Fourier-Transformation von \( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \):
\[ F(\omega) = -j \pi A (\delta(\omega - \omega_0) + j \pi A \delta(\omega + \omega_0)) \]
Dieses Ergebnis zeigt, dass die Fourier-Transformation aus zwei Impulsen besteht, die bei den Frequenzen \( \omega = \pm \omega_0 \) lokalisiert sind, mit den Amplituden \( \pi A \).
Weitere Referenzen und Links
[1] - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
[2] - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
[3] - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
Formeln für Fourier-Reihen und -Transformation