Detaillierte mathematische Analysen passiver Tiefpassfilter erster und zweiter Ordnung werden vorgestellt.
Die Mathematik, die bei der Untersuchung von Tiefpassfiltern erster und zweiter Ordnung involviert ist, ist sehr anspruchsvoll. Ein
Rechner zur grafischen Darstellung der Übertragungsfunktion von Tiefpassfiltern ist enthalten und kann daher für weitere Übungen verwendet werden.
\( \) \( \) \( \)\( \)
Impedanzen passiver Bauelemente
Die Impedanz \( Z_R \) eines Widerstands mit dem Widerstand \( R \) wird gegeben durch
\( \quad Z_R = R \)
Die Impedanz \( Z_C \) eines Kondensators mit der Kapazität \( C \) und die Impedanz \( Z_L \) einer Induktivität mit der Induktivität \( L \) werden in komplexer Form respektive angegeben durch:
\( \quad Z_C = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} = \dfrac{1}{ s \; C} \)
\( \quad Z_L = j \; \omega \; L = s \; L \)
wobei \( s = j \; \omega \) ist.
Übertragungsfunktion eines RC-Tiefpassfilters erster Ordnung
Betrachten wir die Schaltung unten. Wenn die Frequenz \( f \) des Eingangssignals \( v_{in} \) abnimmt, sinkt die Kreisfrequenz \( \omega \; ( \; = \; 2\pi f ) \), die Impedanz des Kondensators \( Z_{C_1} = \dfrac{1}{ s \; C} = \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \) steigt und daher nähert sich die Spannung über \( R \) dem Wert null, und die Spannung \( v_{out} \) nähert sich einem Wert nahe \( v_{in} \).
Wenn die Frequenz zunimmt, sinkt die Impedanz des Kondensators auf null und daher tendiert die Ausgangsspannung \( v_{out} \) gegen null. Daher lässt die RC-Schaltung in Abbildung 1 nur niedrige Frequenzen zum Ausgang passieren. Es ist ein Tiefpassfilter.
Abbildung 1 - RC-Tiefpassfilter
Sei \( H = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) die Übertragungsfunktion.
Die Schaltung in Abbildung 1 ist ein Spannungsteiler, und unter Verwendung der Impedanzen in komplexer Form erhalten wir
Hinweis: Die Ordnung eines Filters wird durch die höchste Potenz von \( s \) in der Übertragungsfunktion bestimmt. Die höchste Potenz von \( s \) in (I) oben ist gleich \( 1 \), daher ist das Filter von Ordnung 1.
\( H(\omega) \) ist eine komplexe Funktion in Form des Quotienten zweier Funktionen
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{Z_1}{Z_2} \)
Gemäß komplexen Zahlen wird der Betrag gegeben durch
\[ \qquad |H(\omega)| = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \]
und das Argument (Phase in Wechselstromkreisen) wird gegeben durch
Argument von \( H(\omega) \) = Argument von \( Z_1 \) - Argument von \( Z_2 \)
Hinweis: Das Argument (in komplexen Zahlen) und die Phase (in Wechselstromkreisen) sind dieselbe Größe.
Der Betrag \( |H(\omega)| \) und die Phase \( \Phi(\omega) \) der Übertragungsfunktion \( H(\omega) \) in (II) oben, werden gegeben durch
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = \arctan(0) - \arctan \left(\dfrac{R_1 \; C_1 \; \omega}{1}\right) = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
Die \( - 3 \) dB-Grenzfrequenz des Tiefpassfilters erster Ordnung
Die Grenzfrequenz \( \omega_c \) wird definiert als die Frequenz, bei der
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Setzen Sie \( |H(\omega_c)| \) durch seinen oben gefundenen Ausdruck ein, um die Gleichung zu erhalten
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Quadrieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung und schreiben Sie sie um
\[ \dfrac{1}{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2 } = \dfrac{1}{2}\]
Lösen Sie, um die Lösung zu erhalten
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
Beispiele für Tiefpassfilter erster Ordnung
Sei \( R_1 = 100 \; \Omega \) und \( C_1 = 1 \; \mu F \)
Setzen Sie \( R_1 \) und \( C_1 \) durch ihre numerischen Werte ein, um zu erhalten
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 \; C_1} = \dfrac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6} } = 10000 \; \text{rad/s } \]
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(10^{-4} \times \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = - \arctan \left( 10^{-4} \times \; \omega \right) \]
Hinweis: Um die Flachheit der Amplitude \( |H(\omega)| \) über die vom Filter zugelassenen Frequenzen besser zu zeigen, zeichnen wir
\[ 20 \log_{10} (| H(\omega) |) \] dessen Einheit ist das Dezibel, abgekürzt \( dB \), auf einem semi-logarithmischen Diagramm.
Bei der Grenzfrequenz \( \omega = \omega_c \) haben wir
\[ |H(\omega_c)| = 20 \log_{10} \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = -3,01029 dB\]
und
\[ |\Phi(\omega_c)| = - \arctan ( 1) = - 45^{\circ} \]
Hinweis: \( \omega_c \) wird als die \( - 3 \text{dB} \) Grenzfrequenz bezeichnet.
Steigung des Diagramms für große Werte von \( \omega \)
Für große Werte von \( \omega \) ist der Term \( (R_1 \; C_1 \; \omega)^2 \) viel größer als \( 1 \), und wir können daher die folgende Näherung machen.
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega} \]
Für \( \omega = \omega_1 \), \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
Für \( \omega = 10 \; \omega_1 \), \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{10 \; R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
\[ 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{10}) = -20 \]
Der Faktor \( 10 \) ist eine Dekade, und wir sagen daher, dass die Steigung des Diagramms \( -20 \; \text{dB} \) pro Dekade beträgt.
Die Punkte \( A \) und \( B \) im folgenden Diagramm veranschaulichen die oben beschriebenen Ergebnisse. Punkt \( A \) liegt bei der Frequenz \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) und Punkt \( B \) liegt bei der Frequenz \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\). Wenn wir uns von \( A \) nach \( B \) bewegen, verringert sich die Amplitude um \( 20 \; \text{dB} \).
Hinweis: Dieses Verhalten tritt bei großen Werten von \( \omega \) oberhalb der Grenzfrequenz auf.
Im Folgenden sind das Diagramm von \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) und die Phase \( \Phi(\omega) \) dargestellt.
Abbildung 2 - Übertragungsfunktion des RC-Tiefpassfilters erster Ordnung
Die Phase \( \Phi \) beträgt \( -45^{\circ} \) bei \( \omega = \omega_c \).
Abbildung 3 - Phase des RC-Tiefpassfilters erster Ordnung
Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters zweiter Ordnung
Wir analysieren nun die Übertragungsfunktion zweier kaskadierter Tiefpassfilter.
Im Allgemeinen wird die Übertragungsfunktion \( H(s) \) einer kaskadierten Schaltung
wie unten gezeigt
Abbildung 4 - Zwei kaskadierte Schaltungen
angegeben durch
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 \; Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 \; Z_2} \qquad (I) \]
Wir verwenden nun die obige Formel (I), um die Übertragungsfunktion des Tiefpassfilters zweiter Ordnung zu finden, bei dem es sich um eine Gruppe von zwei kaskadierten Tiefpassfiltern handelt, wie unten gezeigt.
Abbildung 5 - RC - RC Tiefpassfilter zweiter Ordnung
Setzen Sie \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = Z_{C_2} = \dfrac{1}{C_2 \;s} \), \( Z_3 = R_3 \) und \( Z_4 = Z_{C_3} = \dfrac{1}{C_3 \;s} \) in die obige Formel (I) ein, um zu erhalten
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
Hinweis: Die höchste Potenz von \( s \) ist gleich \( 2 \) und daher ist das Filter von Ordnung \( 2 \).
Setzen Sie \( s = j \; \omega \) und \( s^2 = - \omega^2\) in \( H(s) \) ein, um zu erhalten
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \; \omega^2 + j \;(R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 ) \; \omega } \]
Sei
\[ A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \]
und
\[ B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 \]
und schreiben Sie \( H(\omega) \) um als
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - A \omega^2 + j \;B \; \omega } \]
Der Betrag und die Phase von \( H(\omega) \) werden gegeben durch
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
Die \( - 3 \text{ dB} \)-Grenzfrequenz des Tiefpassfilters zweiter Ordnung
Die Grenzfrequenz \( \omega_c \) ist die Frequenz, bei der
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Setzen Sie \( |H(\omega_c)| \) durch den oben genannten Ausdruck ein, um die Gleichung zu erhalten
\( \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega_c^2)^2 + (B\omega_c)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \)
Quadrieren Sie beide Seiten und schreiben Sie die Gleichung um
\( A^2 \omega_c^4 + (B^2 - 2 \; A) \; \omega_c^2 - 1 =0 \)
Die obige Gleichung hat die quadratische Form in \( \omega_c^2 \) und daher vier Lösungen, aber nur eine ist für dieses Problem gültig und wird durch
\[ \omega_c = \sqrt {\dfrac{{- B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A^2}} \]
Schreiben Sie die obige Lösung um als
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt {\dfrac{{-B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 \; B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A}} \]
welches weiter umgeschrieben werden kann zu
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { - \dfrac{B^2}{2 \; A} + 1 + \sqrt{ \dfrac{B^4}{4 \; A^2} - \dfrac{4 B^2 \; A}{4 \; A^2} + 8 \dfrac{A^2}{4 A^2} } } \]
Sei \( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} \), was \( B^2 = 4 \; A \; r^2 \) und \( B^4 = 16 \; A^2 \; r^4 \) ergibt.
Setzen Sie \( B^2 \) und \( B^4 \) in den letzten Ausdruck von \( \omega_c \) ein und vereinfachen Sie ihn, um zu erhalten
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { 1 - 2 r^2 + \sqrt{ 4 r^4 - 4 r^2 + 2 } } \]
Steigung des Diagramms für große Werte von \( \omega \)
Zuerst erweitern wir den Ausdruck im Nenner von \( | H(\omega) | \).
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - 2 A \omega^2 + A^2 \omega^4 + B^2\omega^2 }} \]
Für große Werte von \( \omega \) ist der Term \( A^2 \omega^4 \) viel größer als alle anderen Terme unter der Quadratwurzel im Nenner, und wir können daher die folgende Näherung machen.
\[ | H(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega^2} \]
Für \( \omega = \omega_1 \), \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega_1^2} \]
Für \( \omega = 10 \omega_1 \), \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; (10 \; \omega_1)^2} \]
\( 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{100}) = -40 \)
Der Faktor \( 10 \) ist eine Dekade, und wir sagen daher, dass die Steigung des Diagramms \( -40 \; \text{dB} \) pro Dekade beträgt.
Im Folgenden sind das Diagramm von \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) und die Phase \( \Phi(\omega) \) dargestellt.
Die Punkte \( A \) und \( B \) im folgenden Diagramm veranschaulichen die oben beschriebenen Ergebnisse. Punkt \( A \) liegt bei der Frequenz \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) und Punkt \( B \) liegt bei der Frequenz \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\). Wenn wir uns von \( A \) nach \( B \) bewegen, verringert sich die Amplitude um \( 40 \; \text{dB} \).
Abbildung 2 - Übertragungsfunktion des RC Tiefpassfilters zweiter Ordnung
Abbildung 3 - Phase des Tiefpassfilters zweiter Ordnung
