Beispiele zur Anwendung der Laplace-Transformation zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) werden vorgestellt.
Einer der Hauptvorteile der Verwendung der Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen besteht darin, dass die Laplace-Transformation eine Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung umwandelt.
Aufwendige Berechnungen, die die Zerlegung in Partialbrüche umfassen, werden im Anhang am Ende der Seite präsentiert.
Beispiel 1
Verwenden Sie die Laplace-Transformation, um die Differentialgleichung
\[ - 2 y' + y = 0 \]
mit den Anfangsbedingungen \( y(0) = 1 \) zu lösen, wobei \( y \) eine Funktion der Zeit \( t \) ist.
Lösung für Beispiel 1
Sei \( Y(s) \) die Laplace-Transformation von \( y(t) \)
Nehmen Sie die Laplace-Transformation von beiden Seiten der gegebenen Differentialgleichung: \( \mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s) \)
\( \mathscr{L}\{ -2 y' + y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Verwenden Sie die Linearitätseigenschaft der Laplace-Transformation, um die Gleichung wie folgt umzuschreiben
\( - 2 \mathscr{L}\{ y'\} + \mathscr{L}\{ y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Verwenden Sie die Ableitungseigenschaft, um den Term \( \mathscr{L}\{ y'\} = (s Y(s) - y(0)) \) umzuschreiben.
\( - 2 ( s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 0 \)
Erweitern Sie die obige Gleichung:
\( - 2 s Y(s) + 2 y(0) + Y(s) = 0 \)
Setzen Sie \( y(0) \) mit dem gegebenen numerischen Wert ein:
\( - 2 s Y(s) + 2 + Y(s) = 0 \)
Lösen Sie die Gleichung nach \( Y(s) \) auf:
\( Y(s) (1 - 2 s) = -2 \)
\( Y(s) = \dfrac{2}{2 s - 1} \)
\( Y(s) = \dfrac{1}{ s - 1/2} \)
Wir verwenden nun die Formel (3) in der Formelsammlung der Laplace-Transformation, um die Inverse der Laplace-Transformation von \( Y(s) \) zu finden, die oben wie folgt gegeben ist:
\( \displaystyle y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \)
Hinweis: Lösung überprüfen
Lassen Sie uns überprüfen, ob die gefundene Lösung \( y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \) die gegebene Differentialgleichung erfüllt
\( - 2 y' + y = - 2 ( (1/2) e^{\frac{1}{2} t } ) + e^{\frac{1}{2} t } \)
Vereinfachen Sie die obige Gleichung:
\( - e^{\frac{1}{2} t } + e^{\frac{1}{2} t } = 0 \) ; Differentialgleichung erfüllt.
\( y(0) = e^{\frac{1}{2} 0 } = e^0 = 1 \) ; Anfangswert ebenfalls erfüllt.
Beispiel 2
Verwenden Sie die Laplace-Transformation, um die Differentialgleichung zu lösen
\[ y'' - 2 y' -3 y = 0 \]
mit den Anfangsbedingungen \( y(0) = 2 \) und \( y'(0) = - 1 \), wobei \( y \) eine Funktion der Zeit \( t \) ist.
Lösung für Beispiel 2
Sei \( Y(s) \) die Laplace-Transformation von \( y(t) \)
Nehmen Sie die Laplace-Transformation von beiden Seiten der gegebenen Differentialgleichung:
\( \mathscr{L}\{ y'' - 2 y' -3 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Verwenden Sie die Linearitätseigenschaft der Laplace-Transformation, um die Gleichung wie folgt umzuschreiben:
\( \mathscr{L}\{ y"\} - 2 \mathscr{L}\{ y'\} - 3 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Verwenden Sie die erste und zweite Ableitungseigenschaften, um die Terme \( \mathscr{L}\{ y"\} \) und \( \mathscr{L}\{ y'\} \) umzuschreiben und die rechte Seite zu vereinfachen.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2 (sY(s) - y(0)) - 3 Y(s) = 0 \)
Setzen Sie \( y(0) \) und \( y'(0) \) mit den numerischen Werten ein und erweitern Sie:
\( s^2 Y(s) - 2 s + 1 - 2 s Y(s) + 4 - 3 Y(s) = 0 \)
Gruppieren Sie ähnliche Terme und halten Sie Terme mit \( Y(s) \) auf der linken Seite:
\( s^2 Y(s) - 2 s Y(s) - 3 Y(s) = 2 s - 5 \)
Faktorisieren Sie \( Y(s) \):
\( Y(s) (s^2 - 2 s - 3 ) = 2 s - 5 \)
Lösen Sie die Gleichung nach \( Y(s) \) auf:
\( Y(s) = \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} \)
Erweitern Sie die rechte Seite in Partialbrüche (siehe Details in Anhang A am Ende der Seite)
\( Y(s) = \dfrac{7}{4\left(s+1\right)}+\dfrac{1}{4\left(s-3\right)} \)
Wir verwenden nun die Formel (3) in der Formelsammlung der Laplace-Transformation, um die Inverse der Laplace-Transformation von \( Y(s) \) zu finden, die wie folgt gegeben ist:
\( \displaystyle y(t) = \dfrac{7}{4} e^{- t } + \dfrac{1}{4} e^{3 t } \)
Sie können überprüfen, dass die gefundene Lösung die Differentialgleichung und die gegebenen Anfangswerte erfüllt.
Beispiel 3
Verwenden Sie die Laplace-Transformation, um die Differentialgleichung zu lösen
\[ y'' + 2 y' + 2 y = 0 \]
mit den Anfangsbedingungen \( y(0) = -1 \) und \( y'(0) = 2 \), wobei \( y \) eine Funktion der Zeit \( t \) ist.
Lösung für Beispiel 3
Sei \( Y(s) \) die Laplace-Transformation von \( y(t) \)
Nehmen Sie die Laplace-Transformation von beiden Seiten der gegebenen Differentialgleichung:
\( \mathscr{L}\{ y'' + 2 y' + 2 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Verwenden Sie die Linearitätseigenschaft der Laplace-Transformation, um die Gleichung wie folgt umzuschreiben:
\( \mathscr{L}\{ y"\} + 2 \mathscr{L}\{ y'\} + 2 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Verwenden Sie die erste und zweite Ableitungseigenschaften, um die Terme \( \mathscr{L}\{ y"\} \) und \( \mathscr{L}\{ y'\} \) umzuschreiben und die rechte Seite zu vereinfachen.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 2 (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0 \)
Setzen Sie \( y(0) \) und \( y'(0) \) mit den numerischen Werten ein und erweitern Sie:
\( s^2 Y(s) + s - 2 + 2 s Y(s) + 2 + 2 Y(s) = 0 \)
Gruppieren Sie ähnliche Terme und halten Sie Terme mit \( Y(s) \) auf der linken Seite der Gleichung:
\( s^2 Y(s) + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = - s \)
Faktorisieren Sie \( Y(s) \):
\( Y(s) (s^2 + 2 s + 2 ) = - s \)
Lösen Sie die Gleichung nach \( Y(s) \) auf:
\( Y(s) = \dfrac{-s}{s^2 + 2 s + 2} \)
Faktorisieren Sie den Nenner über den komplexen Zahlen, indem Sie zuerst die Gleichung lösen:
\( s^2 + 2 s + 2 = 0 \)
was zwei komplexe Lösungen ergibt:
\( S_1 = -1 + j \) und \( s_2 = -1 - j \)
Faktorisieren Sie:
\( Y(s) = \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
Erweitern Sie die rechte Seite in Partialbrüche (siehe Anhang B am Ende der Seite):
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
mit
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
und
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
Verwenden Sie die Formeln in der Formelsammlung, um die Inverse der Laplace-Transformation von \( Y(s) = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \) zu finden, die gegeben ist durch:
\( y(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t} \)
Schreiben Sie \( A \) und \( B \) in Exponentialform:
\( A = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j} \)
\( B = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j} \)
Setzen Sie \( s_1 \), \( s_2 \), \( A \) und \( B \) mit ihren Werten ein und schreiben Sie \( y(t) \) wie folgt:
\( y(t) = (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j}) e^{(-1 + j) t} + (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j}) e^{(-1 - j) t} \)
Faktorisieren Sie \( \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \) heraus und gruppieren Sie die Exponenten:
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ e^{j t - \frac{3\pi}{4} j } + e^{-j t + \frac{3\pi}{4} j } \right] \)
Verwenden Sie die Euler-Formel ( \( e^jx = \cos x + j \sin x \) ), um die Terme in den Klammern zu vereinfachen:
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ \cos(t - \frac{3\pi}{4}) + j\sin(t - \frac{3\pi}{4}) + \cos(-t + \frac{3\pi}{4}) + j\sin(- t + \frac{3\pi}{4}) \right] \)
was vereinfacht wird zu:
\( y(t) = \sqrt 2 e^{-t} \cos(t - \frac{3\pi}{4}) \)
Sie können überprüfen, dass die gefundene Lösung die Differentialgleichung und die gegebenen Anfangswerte erfüllt.
Beispiel 4
Verwenden Sie die Laplace-Transformation, um die Differentialgleichung zu lösen
\[ y'' - y' - 2 y = \sin(3t) \]
mit den Anfangsbedingungen \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = -1 \).
Lösung für Beispiel 4
Sei \( Y(s) \) die Laplace-Transformation von \( y(t) \)
Nehmen Sie die Laplace-Transformation von beiden Seiten der gegebenen Differentialgleichung:
\( \mathscr{L}\{ y'' - y' - 2 y \} = \mathscr{L}\{ \sin(3t) \} \)
Verwenden Sie die Linearitätseigenschaft der Laplace-Transformation, um die linke Seite zu erweitern und verwenden Sie die Tabelle, um die rechte Seite zu berechnen.
\( \mathscr{L}\{ y"\} - \mathscr{L}\{ y'\} - 2 \mathscr{L}\{ y \} = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Verwenden Sie die erste und zweite Ableitungseigenschaften, um die Terme \( \mathscr{L}\{ y"\} \) und \( \mathscr{L}\{ y'\} \) umzuschreiben und die rechte Seite zu vereinfachen.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Setzen Sie \( y(0) \) und \( y'(0) \) mit den numerischen Werten ein und erweitern Sie:
\( s^2 Y(s) - s + 1 - s Y(s) + 1 - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Gruppieren Sie ähnliche Terme und halten Sie Terme mit \( Y(s) \) auf der linken Seite der Gleichung:
\( s^2 Y(s) - s Y(s) - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
Faktorisieren Sie \( Y(s) \) auf der linken Seite:
\( Y(s) (s^2 - s - 2 ) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
Lösen Sie die Gleichung nach \( Y(s) \) auf:
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2} \)
Faktorisieren Sie den Term \( s^2 - s - 2 \) im Nenner:
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)} \)
dies kann in Partialbrüche erweitert werden (siehe Anhang C am Ende der Seite für Details).
\( Y(s) = \dfrac{3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)
Wir verwenden nun die Formeln in der Formelsammlung der Laplace-Transformation, um die Inverse der Laplace-Transformation von \( Y(s) \) zu finden, die wie folgt gegeben ist:
\( y(t) = \dfrac{3}{130} \cos(3x) - \dfrac{11}{130} \sin(3x) + \dfrac{9}{10} e^{-x} +\dfrac{1}{13} e^{2x}\)
Partialbruchzerlegung von Beispiel 2
Faktorisieren Sie den Nenner
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{2s - 5}{(s-3)(s+1)} \)
Erweitern Sie in Partialbrüche
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{A}{s+1} + \dfrac{B}{s-3} \)
Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Gleichung mit \( (s-3)(s+1) \) und vereinfachen Sie
\( 2s - 5 = A(s-3) + B(s+1) \) (1)
Setzen Sie \( s = 3 \) in Gleichung (1)
2(3) - 5 = A(3 -3) + B(3+1)
Vereinfachen und lösen Sie nach \( B \)
\( B = 1/4 \)
Setzen Sie \( s = - 1 \) in Gleichung (1)
\( 2(-1) - 5 = A(-1-3) + B(-1+1) \)
Vereinfachen und lösen Sie nach \( A \)
\( A = \dfrac{7}{4} \)
Partialbruchzerlegung von Beispiel 3
Partialbruchzerlegung von \( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Gleichung mit \( (s - s_1)(s - s_2) \) und vereinfachen Sie
\( - s = A (s-s_2) + B(s - s_1) \) (1)
Bewerten Sie die obige Gleichung bei \(s=s_1 \)
\( - s_1 = A (s_1-s_2) + B(s_1 - s_1) \)
Vereinfachen
\( -s_1 = A (s_1-s_2) \)
Lösen Sie nach \( A \)
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
Bewerten Sie beide Seiten der Gleichung (1) bei \( S = s_2 \) und finden Sie \( B \) in ähnlicher Weise wie \( A \) oben
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
Erweitern in Partialbrüche aus Beispiel 4
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
Faktorisieren Sie die Nenner
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)}\)
Vereinfachen Sie den Term auf der rechten Seite
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} \)
Drücken Sie in Partialbrüche aus
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} = \dfrac{As + B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Gleichung mit dem Nenner \( (s^2+3^2)(s-2)(s+1) \) und vereinfachen Sie
\( 3 + (s^2+3^2)(s-2) = (As + B)(s-2)(s+1) + C (s^2+3^2)(s-2) + D (s^2+3^2)(s+1) \) (1)
Wählen Sie Werte für \( s \), die die Berechnungen für die Koeffizienten \( A, B, C \) und \( D \) vereinfachen
Setzen Sie \( s = 2 \) auf beiden Seiten von Gleichung (1)
\( 3 + (2^2+3^2)(2-2) = (2 A + B)(2-2)(s+1) + C (2^2+3^2)(2-2) + D (2^2+3^2)(2+1) \)
Vereinfachen Sie
\( 3 = 39 D \)
Lösen Sie nach \( D \)
\( D = \dfrac{1}{13} \)
Setzen Sie \( s = -1 \) auf beiden Seiten von Gleichung (1)
\( 3 + ((-1)^2+3^2)(-1-2) = (-A + B)(-1-2)(-1+1) + C ((-1)^2+3^2)(-1-2) + D ((-1)^2+3^2)(-1+1) \)
Vereinfachen Sie
\( 3 - 30 = - 30 C \)
Lösen Sie nach \( C \)
\( C = \dfrac{9}{10} \)
Setzen Sie \( s = 0 \) auf beiden Seiten von Gleichung (1)
\( 3 +(0^2+3^2)(0-2) = (0 + B)(0-2)(0+1) + C (0^2+3^2)(0-2) + D (0^2+3^2)(0+1) \)
Vereinfachen Sie
\( 3 - 18 = -2 B - 19 C + 9D \)
Ersetzen Sie \( C \) und \( D \) durch ihre numerischen Werte und lösen Sie nach B, um zu erhalten:
\( B = -\dfrac{33}{130} \)
Setzen Sie \( s = 1 \) auf beiden Seiten von Gleichung (1)
\( 3 + (1^2+3^2)(1-2) = (A + B)(1-2)(1+1) + C (1^2+3^2)(1-2) + D (1^2+3^2)(1+1) \)
Ersetzen Sie \( B, C \) und \( D \) durch ihre numerischen Werte und lösen Sie nach A, um zu erhalten:
\( A = \dfrac{3}{130} \)
Daher:
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
\( \quad \quad = \dfrac{As}{s^2+3^2} + \dfrac{B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
\( \quad \quad = \dfrac{ 3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)