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Formeln und Eigenschaften der Laplace-Transformation

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Formeln der Laplace-Transformation

Definition: Wenn \( f(t) \) eine einseitige Funktion ist, sodass \( f(t) = 0 \) für \( t \lt 0 \), dann ist die Laplace-Transformation \( F(s) \) definiert durch \[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \] wobei \( s \) eine komplexe Zahl sein darf, für die das obige uneigentliche Integral konvergiert.
Eine präzisere Definition der Laplace-Funktion, um Funktionen wie \( \delta(t) \) zu berücksichtigen, wird durch \[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \] gegeben.
Berechnungen der Laplace-Transformation mit Beispielen und Lösungen sind enthalten.

Funktion

Transformation
\( f(t) \) \( F(s) \)
\( u(t) \) \( \dfrac{1}{s} \)
\( t^n \) \( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)
\( e^{-at} \) \( \dfrac{1}{s+a} \)
\( t^n e^{-at} \) \( \dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} \)
\( \sin \omega t \) \( \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} \)
\( t \sin \omega t \) \( \dfrac{2 \omega s}{(s^2+\omega^2)^2} \)
\( \cos \omega t \) \( \dfrac{s}{s^2+\omega^2} \)
\( t \cos \omega t \) \( \dfrac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2} \)
\( \sinh \omega t \) \( \dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2} \)
\( \cosh \omega t \) \( \dfrac{s }{s^2 - \omega^2} \)
\( \delta( t - \tau) \) \( e^{-s \tau} \), \( \tau \ge 0 \)
\( u( t - \tau) \) \( \dfrac{1}{s} e^{-s \tau} \), \( \tau \ge 0 \)

Hinweise
1) \( \delta( t ) \) ist die Dirac-Delta-Funktion, auch als Impulsfunktion in der Technik bekannt.
2) \( u( t) \) ist die Heaviside-Stufenfunktion.


Eigenschaften der Laplace-Transformation

Im Folgenden wird die Funktion \( f(t) \) in Kleinbuchstaben geschrieben und die entsprechende Transformation in Großbuchstaben \( F(s) \).
  1. Linearität
          Wenn \( g(t) = a f_1(t) + b f_2(t) \), dann \( G(s) = a F_1(s) + b F_2(s) \), \( a \) und \( b \) sind Konstanten.
  2. Verschiebung in \( t \)
          Wenn \( g(t) = f(t - \tau) u( t - \tau) \), dann \( G(s) = e^{- s \tau} F(s) \), \( \tau \ge 0 \)
  3. Multiplikation mit einem Exponential in \( t \) führt zu einer Verschiebung in \( s \)
          Wenn \( g(t) = e^{-at} f(t) \), dann \( G(s) = F(s + a) \), \( a \ge 0 \)
  4. Skalierung in \( t \)
          Wenn \( g(t) = f(k t) \), dann \( G(s) = \dfrac{1}{k} F(\dfrac{s}{k}) \)
  5. Ableitung von \( F(s) \) bezüglich \( s \)
          Wenn \( g(t) = t f(t) \), dann \( G(s) = - \dfrac{d F(s)}{d s} \)
  6. Ableitung von \( f(t) \) bezüglich \( t \)
          Wenn \( g(t) = \dfrac{df(t)}{dt} = f'(t)\), dann \( G(s) = s F(s) - f(0) \)
  7. Zweite Ableitung von \( f(t) \) bezüglich \( t \)
          Wenn \( g(t) = \dfrac{df^2(t)}{dt^2} = f''(t)\), dann \( G(s) = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \)
  8. \( n \)-te Ableitung von \( f(t) \) bezüglich \( t \)
         Wenn \( g(t) = \dfrac{df^n(t)}{dt^n} = f^{(n)}(t)\),
         dann \( G(s) = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - ... - s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0) \)
  9. Integral von \( f(t) \) bezüglich \( t \)
         Wenn \( \displaystyle g(t) = \int_0^t f(t') dt'\), dann \( G(s) = \dfrac{1}{s} F(s) \)
  10. Faltungsintegral
         Wenn \( \displaystyle g(t) = \int_0^t f_1(t')f_2(t-t') dt'\), dann \( G(s) = F_1(s) F_2(s) \)



Weitere Referenzen und Links

Definition der Laplace-Transformation.
Handbuch der mathematischen Funktionen Seite 1020.
Heaviside-Stufenfunktion
Dirac-Delta-Funktion
Berechnungen der Laplace-Transformation mit Beispielen und Lösungen.
Ingenieurmathematik mit Beispielen und Lösungen