Die Berechnung der Durchschnittsleistung in Wechselstromkreisen wird mit Beispielen und deren Lösungen dargestellt. Aufgaben mit Lösungen sind ebenfalls enthalten.
Betrachten Sie den untenstehenden Stromkreis.
Sei die Impedanz \( Z \) in Polarform geschrieben als \( Z = |Z| \; e^{j\theta} \)
Sei \( v_i (t) = V_0 \; \cos(\omega t) \)
dann
\( i (t) = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \cos (\omega t - \theta) \)
Die Momentanleistung \( P(t) \), die der Impedanz \( Z \) geliefert wird, wird durch
\[ P(t) = i(t) \; v(t) = \dfrac{V_0^2}{|Z|} \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \]
gegeben.
Die Durchschnittsleistung wird definiert als
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{1}{T} \int_0^T P(t) dt \]
Ersetzen Sie \( P(t) \) durch den oben gefundenen Ausdruck und schreiben Sie die Durchschnittsleistung als
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \; dt \)
Erweitern: \( \quad \cos ( \omega t - \theta) = \cos \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \sin \theta \) und ersetzen Sie es in \( P_a \)
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; (\cos^2 \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta ) \; dt \)
Schreiben Sie das Integral als Summe von zwei Integralen: ein Integral auf der linken und ein zweites Integral auf der rechten Seite wie folgt:
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos^2 \omega t \; \cos \theta \; dt + \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt \)
Verwenden Sie die trigonometrische Identität: \( \quad \sin(\omega t) \cos(\omega t) = \dfrac{1}{2} \sin(2 \omega t) \), um das Integral auf der rechten Seite umzuschreiben als
\( \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta) \int_0^T \sin (2 \omega t ) \; dt \)
\( \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos (2 \omega t ) \right]_0^T \)
\( \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos 2 \omega T - \cos 0 \right] \)
Verwenden Sie die Formel \( \quad \omega = \dfrac{2 \pi}{T} \), um \( \cos 2 \omega T \) zu vereinfachen
\( \quad \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } [\cos (4 \pi) - \cos 0] \)
\( \quad \quad \quad \quad = 0 \)
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \quad \cos^2 \omega t = \dfrac{1}{2} (\cos(2 \omega t )+1) \) im Integral auf der linken Seite und schreiben Sie
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; (\cos(2 \omega t )+1) \; dt \)
Schreiben Sie das Integral als Summe von zwei Integralen
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \cos \theta \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt + \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
Auf ähnliche Weise wie oben kann gezeigt werden, dass \( \displaystyle \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt = 0 \)
Daher wird \( P_a \) gegeben durch
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
\( \displaystyle \quad = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \left[t\right]_0^T \)
\[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
Der Begriff \( \cos \theta \) in der obigen Formel wird als Leistungsfaktor bezeichnet.
Hinweis: Beachten Sie, dass \( |Z| \) und \( \cos \theta \) im Allgemeinen von der Frequenz abhängen, und daher hängt die Durchschnittsleistung von der Frequenz der Spannungs- (oder Strom-) Quelle ab.
Wie oben gezeigt, können die Berechnungen ziemlich anspruchsvoll sein. Daher ist ein Leistungsrechner für Serienschaltungen RLC enthalten, um mehr Übung und Untersuchungen dieser Schaltungen zu ermöglichen.
Beispiel 1
In der unten gezeigten Serienschaltung RLC wird die Quellspannung durch \( v_i = 5 \cos (\omega t) \) angegeben, die Kapazität des Kondensators \( C = 100 \; \mu F \), die Induktivität der Spule \( L = 100 \; mH \) und der Widerstand des Widerstands \( R = 1000 \; \Omega \) sowie die Frequenz \( f = 2000 \; Hertz \).
a) Bestimmen Sie die Gesamtimpedanz \( Z \) der Serienschaltung RLC und geben Sie sie in Polarform an.
b) Bestimmen Sie die durchschnittliche Leistung, die der Gesamtimpedanz \( Z \) geliefert wird.
Lösung für Beispiel 1
a)
Für eine Serienschaltung RLC gilt \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} ) \)
\( \omega = 2 \pi f = 4000 \pi \) rad/s
Ersetzen Sie \( R \), \( L \), \( C \) und \( \omega \) durch ihre numerischen Werte, um
\( Z = 1000 + j\left(4000 \pi \times 100 \times 10^{-3} - \dfrac{1}{4000 \pi \times 100 \times 10^{-6}} \right) \) zu erhalten.
\( Z = 1000 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi} \right) j \)
Die Impedanz \( Z \) wird in der Standard-Komplexform \( Z = a + j b \) geschrieben.
In Polarform wird dieselbe Impedanz als \( Z = |Z| e^{j\theta} \) geschrieben,
wobei \( \theta = \arctan \dfrac{b}{a} \) und \( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \)
Daher
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \)
\( |Z| = \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} \)
b)
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \)
Ersetzen Sie \( V_0 \), \( |Z| \) und \( \theta \) durch ihre numerischen Werte.
\( \displaystyle P_a = \dfrac{5^2}{2 \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} } \cos \left( \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \right) \)
\( \quad \approx 0,00485 \; \text{Watt} \)
Beispiel 2
Zeigen Sie, dass die durchschnittliche Leistung, die einer Serienschaltung RLC wie im Beispiel 1 zugeführt wird, für eine Frequenz \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \) maximal ist, und finden Sie eine Formel für diese maximale Leistung.
Lösung für Beispiel 2
a) Für eine Serienschaltung RLC wird die Gesamtimpedanz durch \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \) gegeben.
Die Kreisfrequenz \( \omega \) ist mit der Frequenz \( f \) durch die Formel: \( \omega = 2 \pi f = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) verbunden.
Ersetzen Sie \( \omega \) durch \( \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) in \( Z \), um zu erhalten
\( Z = R + j (\dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{1}{\dfrac{C}{\sqrt{LC}}}) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{\sqrt{LC}}{C} ) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{\sqrt L}{\sqrt C} - \dfrac{\sqrt{L}}{\sqrt C} ) \)
was vereinfacht wird zu
\( Z = R \)
Für die Frequenz \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \) ist die Impedanz \( Z \) reell und daher
\( |Z| = R \)
und das Argument \( \theta \) von \( Z \) ist gleich null. Daher hat \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) einen maximalen Wert.
Für die Frequenz \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \) ist der Leistungsfaktor \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) maximal und \( |Z| \) ist minimal, was eine Durchschnittsleistung mit einem maximalen Wert ergibt, der durch
\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \)
Beispiel 3
In einer Serienschaltung RLC, wie sie im Beispiel 1 oben dargestellt ist, wird die Quellspannung durch \( v_i = 2 \cos ( \omega t) \) gegeben, die Kapazität des Kondensators \( C = 470 \mu \)F, die Induktivität der Spule \( L = 50 \)mH und der Widerstand des Widerstands beträgt \( R = 100 \; \Omega \).
a) Drücken Sie die Durchschnittsleistung \( P_a \) aus, wie sie oben in der Formel angegeben ist, und erstellen Sie ein Diagramm von \( P_a \) als Funktion der Kreisfrequenz \( \omega \), und finden Sie die Position des Maximums von \( P_a \).
b) Überprüfen Sie, ob die Leistung bei der Kreisfrequenz \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) (oder der Frequenz \( f_r = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)) maximal ist und durch \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \) wie im Beispiel 2 oben erklärt, gegeben ist.
Lösung für Beispiel 3
Für eine Serienschaltung RLC gilt \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
Betrag: \( |Z| = \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
Argument: \( \theta = \arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \)
Die Durchschnittsleistung \( P_a \) wird durch
\[ P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
gegeben.
Ersetzen Sie \( V_0 \) und \( |Z| \) durch ihre Ausdrücke.
\( P_a (\omega ) = \dfrac{V_0^2}{2 \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \right) \)
Ersetzen Sie \( R \), \( L \) und \( C \) durch ihre Werte, um \( P_a \) als Funktion von \( \omega \) zu erhalten.
\( P_a (\omega ) = \dfrac{2}{ \sqrt { 100^2 + \left( 50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{470 \times 10^{-6}\; \omega } \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{ 470 \times 10^{-6} \; \omega }} {100} \right) \right) \)
Das Diagramm von \( P_a (\omega ) \) gegen \( \omega \) ist unten dargestellt.
Der kostenlose Geogebra Graphing Calculator wurde verwendet, um das Diagramm zu erstellen und das Maximum wie im Diagramm gezeigt zu lokalisieren.
b)
Im Beispiel 2 oben wurde erklärt, dass die Durchschnittsleistung bei
\( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{ \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 470 \times 10^{-6} }} \approx 206,28\) rad/s
maximal ist. Die maximale Leistung wird durch \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} = \dfrac{2^2}{2 \times 100} = 0,02\) Watt gegeben.
Sowohl die berechneten Werte von \( \omega_r \) als auch \( P_a max \), die berechnet wurden, sind gleich den oben grafisch gefundenen Werten.