Berechnung der Äquivalenten Impedanz in Wechselstromkreisen

Inhaltsverzeichnis

Beispiele, wie man die Regeln für Impedanzen in Serien- und Parallelschaltungen anwendet, um äquivalente Impedanzen in verschiedenen Wechselstromkreisen zu berechnen und sie als komplexe Zahlen in Standard-, Exponential- und Polarform darzustellen. Detaillierte Lösungen der Beispiele werden ebenfalls präsentiert.

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1
Finden Sie die äquivalente Impedanz zwischen den Punkten A und B in der unten angegebenen Schaltung und schreiben Sie sie in Exponentialform und Polarform. .

Lösung zu Beispiel 1
Sei \( Z_1 \) die Impedanz des Widerstands R und daher \( Z_1 = R\)
Sei \( Z_2 \) die Impedanz des Kondensators \( C \) und der Induktivität \( L \), die parallel geschaltet sind.
\( Z_1 \) und \( Z_2 \) sind in Serie geschaltet, und die äquivalente Impedanz \( Z_{AB} \) wird nach der Regel der Serienimpedanzen berechnet
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)

Die Impedanz eines Kondensators mit der Kapazität \( C \) in komplexer Form ist gleich \( \dfrac{1}{ j \omega C} \)
Die Impedanz einer Induktivität mit der Induktivität \( L \) in komplexer Form ist gleich \( j \omega L \)
Wir verwenden jetzt die Regel der Parallelimpedanzen, um \( Z_2 \) wie folgt zu berechnen
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C}} \)
was umgeschrieben werden kann als
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + j \omega C \)
Schreiben Sie die rechte Seite mit einem gemeinsamen Nenner
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1-\omega^2 C L}{j\omega L} \)
Lösen Sie nach \( Z_2 \) auf
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
Substituieren Sie \( Z_1 \) und \( Z_2 \) durch ihre Ausdrücke, um \( Z_{AB} \) zu erhalten
\( Z_{AB} = R + \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
Finden Sie das Betrag \( |Z_{AB}| \) und das Argument \( \theta \) von \( Z_{AB} \)
\( |Z_{AB}| = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \)
\( \theta = \arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)} \)
In Exponentialform wird die äquivalente Impedanz durch
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } e^{\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)
In Polarform wird sie geschrieben als
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \; \angle \; {\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)

Beispiel 2
Finden Sie die äquivalente Impedanz zwischen den Punkten A und B in der unten angegebenen Schaltung und schreiben Sie sie in Exponential- und Polarformen, gegeben:
\( L_1 = 20 \; mH \) , \( C_1 = 10 \; \mu F \) , \( L_2 = 40 \; mH \) , \( C_2 = 30 \; \mu F \) die Frequenz des Signals \( f = 1.5 \; kHz \)

Lösung zu Beispiel 2
Sei \( Z_1 \) die Impedanz des Kondensators \( C_1 \) und der Induktivität \( L_1 \), die parallel geschaltet sind.
Sei \( Z_2 \) die Impedanz des Kondensators \( C_2 \) und der Induktivität \( L_2\), die parallel geschaltet sind.
\( Z_1 \) und \( Z_2 \) sind in Serie geschaltet, wie unten gezeigt. Wir verwenden jetzt die Regel der Serienimpedanzen, um \( Z_{AB} \) wie folgt zu berechnen
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)


Wir verwenden jetzt die Regel der Parallelimpedanzen, um \( Z_1 \) und \( Z_2 \) wie folgt zu berechnen
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C_1}} \)
schreiben Sie das oben genannte als
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + j \omega C_1 \)
Schreiben Sie die rechte Seite mit einem gemeinsamen Nenner
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1 - \omega^2 L_1 C_1}{j\omega L_1} \)
Lösen Sie nach \( Z_1 \) auf
\( Z_1 = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} \)
\( Z_2 \) kann auf ähnliche Weise wie \( Z_1 \) berechnet werden und ist gegeben durch
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
Wir setzen nun \( Z_1 \) und \( Z_2 \) durch ihre Ausdrücke in \( Z_{AB} \) ein, um zu erhalten
\( Z_{AB} = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
Faktorisieren Sie \( j \omega \) aus und schreiben Sie \( Z_{AB} \) um als
\( Z_{AB} = j \omega \left (\dfrac{ L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{ L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \right) \)
Setzen Sie die numerischen Werte von \( L_1 , C_1 , L_2 , C_2 \) und \( \omega = 2 \pi f \) in \( Z_{AB} \) ein
\( Z_{AB} \approx - j 14.81 \)
Beachten Sie, dass \( Z_{AB} \) rein imaginär ist, und daher sind der Betrag \( |Z_{AB}| \) und das Argument \( \theta \) von \( Z_{AB} \) gegeben durch
\( |Z_{AB}| \approx 14.81 \)
\( \theta = - \pi / 2 \)
Exponentialform
\( Z \approx 14.81 \; e^{-j \pi/2} \)
Polarform
\( Z \approx 14.81 \angle - \pi/2 \)

Beispiel 3
Finden Sie die äquivalente Impedanz zwischen den Punkten A und B in der unten angegebenen Schaltung und schreiben Sie sie in Exponential- und Polarformen, gegeben dass
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) die Frequenz des Signals \( f = 0.5 \; kHz \)

Lösung zu Beispiel 3
\( Z_1 = R_1 \)
\( Z_2 = \dfrac{1}{j \omega C_1} \)
\( Z_3 = R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2} \)
\( Z_2 \) und \( Z_3 \) sind parallel geschaltet und ihre äquivalente Impedanz \( Z_{2,3} \) wird nach der Regel der Parallelimpedanzen berechnet
\( \dfrac{1}{Z_{2,3}} = \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3} \)
\( Z_{2,3} = \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)


\( Z_1 \) und \( Z_{2,3} \) sind in Serie, daher
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_{2,3} = Z_1 + \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)
Substituieren
\( Z_{AB} = R_1 + \dfrac{\dfrac{1}{j \omega C_1} \cdot (R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2})}{\dfrac{1}{j \omega C_1} + R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2}} \)
Substituieren Sie die numerischen Werte von \( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) die Frequenz des Signals \( f = 0.5 \; kHz \) um zu erhalten
\( Z_{AB} \approx 20.49 -6.29 j \)
Betrag von \( Z_{AB} \)
\( | Z_{AB} | \approx \sqrt{20.49^2 + (-6.29)^2 } = 21.43\)
Argument von \( Z_{AB} \)
\( \theta \approx \arctan (\dfrac{-6.29}{20.49}) = -0.20 rad \) oder \( \theta = -17.07^{\circ} \)
Daher in Exponentialform
\( Z_{AB} \approx 21.43 e^{ -0.20 j} \)
und in Polarform
\( Z_{AB} \approx 21.43 \angle -17.07^{\circ} \)

Weitere Referenzen und Links