Polar-Impedanzrechner
Inhaltsverzeichnis
Ein Online-Rechner zum Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Polar-Impedanzen wird vorgestellt. Operationen mit Polar-Impedanzen sind notwendig, um äquivalente Impedanzen in Wechselstromkreisen zu finden.
\( \) \( \)
Im Folgenden ist \( j \) die imaginäre Einheit, sodass \( j^2 = -1 \) oder \( j = \sqrt{-1} \).
Impedanzen in komplexen Formen
Impedanzen werden durch komplexe Zahlen in Polarform wie folgt dargestellt:
\( Z = \rho \: \; \angle \; \: \theta \) , wobei \( \rho \) der Betrag von \( Z \) ist und \( \theta \) die Phase in Grad oder Radiant.
\( Z \) in der Standardkomplexform wird geschrieben als
\( Z = \rho \cos \theta + j \; \rho \sin \theta \)
1) Ein Kondensator mit einer Kapazität \( C \) hat eine Impedanz \( Z_C \), deren Betrag \( \dfrac{1}{\omega C} \) ist, wobei \( \omega = 2 \pi f \) und \( f \) die Frequenz des Signals ist, und eine Phase von \( - \dfrac {\pi}{2} \). Daher wird \( Z_C \)
in der Standardkomplexform geschrieben als
\( Z_C = - \dfrac{j}{\omega C} \)
und in Polarform als
\( Z_C = \dfrac{1}{\omega C} \; \angle \; - \dfrac {\pi}{2} \)
2) Eine Spule mit einer Induktivität \( L \) hat eine Impedanz \( Z_L \), deren Betrag \( \omega L \) ist, wobei \( \omega = 2 \pi f \) und \( f \) die Frequenz des Signals ist, und eine Phase von \( \dfrac {\pi}{2} \). Daher wird \( Z_L \)
in der Standardkomplexform geschrieben als
\( Z_L = j \; \omega L \)
und in Polarform als
\( Z_L = \omega L \; \angle \; \dfrac {\pi}{2} \)
3) Ein Widerstand mit einem Widerstandswert \( R \) hat eine Impedanz \( Z_R \), deren Betrag \( R \) ist und eine Phase von \( 0 \). Daher wird \( Z_R \)
in der Standardkomplexform geschrieben als
\( Z_R = R + j \; 0 \)
und in Polarform als
\( Z_R = R \; \angle \; 0 \)
Formeln zum Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Polar-Impedanzen
Addieren von Polar-Impedanzen
Sei \( z_1 = \rho_1 \; \angle \; \theta_1 \) und \( z_2 = \rho_2 \; \angle \; \theta_2 \)
Schreiben Sie \( Z_1 \) und \( Z_2 \) in der Standardkomplexform
\( Z_1 = \rho_1 \cos \theta_1 + j \; \rho_1 \sin \theta_1 \)
\( Z_2 = \rho_2 \cos \theta_2 + j \; \rho_2 \sin \theta_2 \)
\( Z_1 + Z_2 = \rho_1 \cos \theta_1 + \rho_2 \cos \theta_2 + j \; ( \rho_1 \sin \theta_1 + \rho_2 \sin \theta_2) \)
in Polarform
\[ Z_1 + Z_2 = \rho \; \; \angle \; \theta \]
wobei
\( \rho = \sqrt {(\rho_1 \cos \theta_1 + \rho_2 \cos \theta_2)^2 + (\rho_1 \sin \theta_1 + \rho_2 \sin \theta_2)^2} \)
und
\( \theta = \arctan (\dfrac{\rho_1 \sin \theta_1 + \rho_2 \sin \theta_2}{\rho_1 \cos \theta_1 + \rho_2 \cos \theta_2}) \)
Subtrahieren von Polar-Impedanzen
In der Standardkomplexform
\( Z_1 - Z_2 = \rho_1 \cos \theta_1 - \rho_2 \cos \theta_2 + j \; ( \rho_1 \sin \theta_1 - \rho_2 \sin \theta_2) \)
in Polarform
\[ Z_1 - Z_2 = \rho \; \; \angle \; \theta \]
wobei
\( \rho = \sqrt {(\rho_1 \cos \theta_1 - \rho_2 \cos \theta_2)^2 + (\rho_1 \sin \theta_1 - \rho_2 \sin \theta_2)^2} \)
und
\( \theta = \arctan (\dfrac{\rho_1 \sin \theta_1 - \rho_2 \sin \theta_2}{\rho_1 \cos \theta_1 - \rho_2 \cos \theta_2}) \)
Es ist viel einfacher, Polar-Impedanzen zu multiplizieren und zu dividieren.
Multiplikation von Polar-Impedanzen
\[ Z_1 \times Z_2 = \rho \; \; \angle \; \theta \]
wobei
\( \rho = \rho_1 \times \rho_2 \)
und
\( \theta = \theta_1 + \theta_2 \)
Division von Polar-Impedanzen
\[ \dfrac{Z_1}{Z_2} = \rho \; \; \angle \; \theta \]
wobei
\( \rho = \dfrac{\rho_1}{\rho_2} \)
und
\( \theta = \theta_1 - \theta_2 \)
Verwendung des Polar-Impedanzrechners
1 - Geben Sie den Betrag und die Phase \( \rho_1 \) und \( \theta_1 \) der Impedanz \( Z_1 \) und den Betrag und die Phase \( \rho_2 \) und \( \theta_2 \) der Impedanz \( Z_2 \)
als reelle Zahlen ein, wobei die Phasen \( \theta_1 \) und \( \theta_2 \) entweder in Radiant oder Grad angegeben werden, und drücken Sie dann "Berechnen".
Die Ausgaben sind:
\( Z_1 \) und \( Z_2 \) in der Standardkomplexform
und
\( Z_1+Z_2\) , \( Z_1-Z_2\) , \( Z_1 \times Z_2 \) und \( \dfrac{Z_1}{Z_2} \) in Polarform mit der Phase in Grad.
Berechnungsergebnisse
Weitere Referenzen und Links
AC-Schaltungsrechner und -Löser.
Mathematikrechner und -Löser.