Ein Rechner zur Berechnung der äquivalenten Impedanz eines Widerstands, eines Kondensators und einer Induktivität in Parallelschaltung. Der Rechner gibt die Impedanz als komplexe Zahl in Standardform aus, ihren Betrag und das Argument, die verwendet werden können, um die Impedanz in Exponentialform und Polarform darzustellen.
\( \) \( \) \( \)
Zuerst geben wir die Formeln an, die im Parallel-RLC-Rechner verwendet werden. Der Beweis dieser Formeln wird im unteren Teil der Seite dargestellt.
Sei
\( Z_R = R \) , \( Z_C = \dfrac{1}{j \omega C} \) , \( Z_L = j \omega L\)
Wenden Sie die Regel der Impedanzen in Parallelschaltungen an, um die äquivalente Impedanz \( Z \) wie folgt zu finden:
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_R} + \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L} \)
\( = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega C}} + \dfrac{1}{j \omega L} \)
Sei
\( X_L = \omega L \) und \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)
und schreiben Sie das oben als
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{X_C}{j}} + \dfrac{1}{j X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + j (\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} ) \)
Der Betrag \( \rho \) der obigen komplexen Zahl ist gegeben durch
\( \rho = \sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2} \)
und das Argument \( \alpha \) ist gegeben durch
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L}}{\dfrac{1}{R}} \right) \)
Neu anordnen
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{R}{X_C}-\dfrac{R}{X_L} \right) \)
Wir verwenden nun die Exponentialform der komplexen Zahl, um zu schreiben
\( \dfrac{1}{Z} = \rho e^{j\alpha} \)
Wir schreiben nun die äquivalente Impedanz \( Z \) als komplexe Zahl in Exponentialform, indem wir das Reziproke des oben genannten nehmen
\( Z = \dfrac{1}{\rho} e^{-j \alpha} \)
Schreiben von \( Z \) als \( Z = r e^{j\theta} \), haben wir
den Betrag von \( Z \) als
\( r = 1/\rho = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
und das Argument von \( Z \) als
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( f = 1,5 \; kHz \) , \( C = 15 \; \mu F \) , \( L = 20 \; mH \) und \( R = 50 \; \Omega \)
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 1,5 \times 10^3 \times 20 10^{-3 } = 188,50 \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{ 2\pi f C} = \dfrac{1}{ 2\pi 1,5 \times 10^3 \times 15 10^{-6}} = 7,07\)
Betrag: \( \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{50}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{7,07}} - \dfrac{1}{ 188,50} \right)^2}} \)
\( = 7,27 \)
Argument: \( \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( = \arctan \left(\dfrac{50}{188,50}-\dfrac{50}{7,07} \right) \)
\( = - 81,64^{\circ} \)
Sie können die angegebenen Werte in den Rechner eingeben und die Ergebnisse überprüfen.