Ein Rechner und Grapher zur Berechnung und Darstellung der Magnitude und Phase der Übertragungsfunktion von Tiefpassfiltern erster und zweiter Ordnung wird vorgestellt.
Im Folgenden ist \( j \) die imaginäre Einheit und \( \omega \) die Winkelgeschwindigkeit, gegeben durch \[ \omega = 2 \; \pi \; f \]
wobei \( f \) die Frequenz des Eingangssignals ist und \( s = j \; \omega\).
Dieser Rechner und Grapher stehen im Zusammenhang mit der Übertragungsfunktion von Tiefpassfiltern, die auf dieser Seite untersucht werden.
Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters erster Ordnung
Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters erster Ordnung
ist gegeben durch
\[ H(s) = \dfrac{ 1}{1 + R_1 \; C_1 \; s } \]
oder
\[ H(\omega) = \dfrac{ 1}{1 + j \; R_1 \; C_1 \; \omega } \]
Die Magnitude von \( H \) ist gegeben durch
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
Die Phase von \( H \) ist gegeben durch
\[ |\Phi(\omega)| = \arctan(0) - \arctan \left(\dfrac{R_1 \; C_1 \; \omega}{1}\right) = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
Die \( - 3 \; \text{dB} \) Grenzfrequenz, definiert in Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters erster Ordnung, ist gegeben durch
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters zweiter Ordnung
Die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters zweiter Ordnung
ist gegeben durch
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
oder
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 R_3 C_2 C_3 \; \omega^2 + j \; (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; \omega + 1} \]
Die Magnitude und Phase sind gegeben durch
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
Die \( -3 \text{ dB} \) Grenzfrequenz, definiert in Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters zweiter Ordnung, ist gegeben durch
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { 1 - 2 r^2 + \sqrt{ 4 r^4 - 4 r^2+ 2 } } \]
wobei \( r \) ebenfalls definiert ist in der Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters zweiter Ordnung.
Verwendung des Rechners und Graphers
Dieser Rechner akzeptiert Werte für den Widerstand \( R_1 \) und die Kapazität \( C_1 \) des Tiefpassfilters erster Ordnung und auch die Widerstände \( R_2 \), \( R_3 \) und die Kapazitäten \( C_2 \) und \( C_3 \) des Tiefpassfilters zweiter Ordnung.
Der Rechner liefert die Übertragungsfunktionen in Bezug auf \( s \) und \( \omega \), die Magnituden, die Phasen und die Grenzfrequenzen beider Filter.
HINWEIS Das Ergebnis in Blau ist für den ersten Ordnung und das Ergebnis in Rot ist für den zweiten Ordnung.
Geben Sie die Widerstände und Kapazitäten ein und drücken Sie "Berechnen".
Die Graphen von \( 20 \log_{10}{ | H(\omega |} \) und den Phasen \( \Phi(\omega) \) werden angezeigt und das Intervall \( h \) zwischen den Punkten kann mit einem Schieberegler angepasst werden.
Ergebnisse
Graphen
HINWEIS Bewegen oder klicken Sie nach links, in die Mitte oder nach rechts, um entweder das Intervall \( h \) zu verkleinern (links) oder zu vergrößern (rechts), um gut skalierte Graphen zu erhalten.
Die