Strom- und Spannungsrechner für Serien-RLC-Schaltungen
Inhaltsverzeichnis
Ein Rechner zur Berechnung der Impedanz, des Stroms und der Spannungen über einen Widerstand, einen Kondensator und eine Spule in Serie.
Der Rechner gibt die äquivalente Impedanz für alle drei in Serie geschalteten Komponenten, den Strom und die Spannungen als komplexe Zahlen in Polarform aus.
Die Phasenreferenz ist so gewählt, dass die Phase der Quellenspannung auf null gesetzt wird.
\( \) \( \) \( \)
Formeln für Impedanz, Strom und Spannungen in einer Serien-RLC-Schaltung, die im Rechner verwendet werden, und ihre Einheiten
Zunächst geben wir die Formeln an, die im Serien-RLC-Rechner verwendet werden.
Die im Berechnungen verwendeten Formeln für Strom und Spannungen in Serien-RLC-Schaltungen werden vorgestellt.
Sei \( f \) die Frequenz in Hertz der Quellenspannung \( v_i \), die die Schaltung speist, und definieren Sie die folgenden Parameter, die in den Berechnungen verwendet werden
\( \omega = 2 \pi f \), Winkelgeschwindigkeit in rad/s
\( X_C = 1 / (\omega C) \) in \(\Omega \), die Reaktanz des Kondensators mit der Kapazität \( C \).
\( X_L = \omega L \) in \(\Omega \), die Reaktanz der Spule mit der Induktivität \( L \).
Sei \( Z \) die äquivalente Impedanz der oben gezeigten Serien-RLC-Schaltung und schreiben Sie sie in komplexer Standardform wie folgt
\[ Z = R +j (X_L - X_C) \]
und in komplexer Polarform wie folgt
\[ Z = |Z| \; \angle \; \theta \]
wobei das Betragszeichen \( |Z| \) und das Argument \( \theta \) von \( Z \) wie folgt gegeben sind
Betrag: \( |Z| = \sqrt {R^2 + (X_L - X_C)^2 } \) in Ohm \( (\Omega) \)
Argument: \( \theta = \arctan \left(\dfrac{X_L - X_C}{R} \right) \) in Radiant oder Grad
Sei \( v_i = V_0 \cos(\omega t) \)
Seien \( I \), \( V_C \), \( V_L \) und \( V_R \) die komplexen Formen in Polarform des Stroms \( i \), \( v_C \), \( v_L \) und \( v_R \) in der Schaltung.
\( I = \dfrac{V_0}{Z} = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \angle \; -\theta \)
\( V_C = I (- j X_C) = \dfrac{V_0}{|Z|} X_C \; \angle \; -\theta - 90\)
\( V_L = I (X_L j) = \dfrac{V_0 \cdot X_L}{|Z|} \; \angle \; -\theta + 90\)
\( V_R = I R = \dfrac{V_0 R}{|Z|} \; \angle \; -\theta \)
Hinweis
1) Alle Phasen werden relativ zur Phase von \( v_i \) gemessen.
2) Am Ende dieser Seite befindet sich eine numerische Lösung für die Standardwerte der Quellenspannungsspitze, des Widerstands, der Kapazität, der Induktivität und der Frequenz in diesem Rechner.
Verwendung des Rechners
Geben Sie die Spitzenwert der Quellenspannung \( V_0\), den Widerstand \( R \), die Kapazität \( C \), die Induktivität \( L \) und die Frequenz \( f \) als positive reelle Zahlen mit den angegebenen Einheiten ein und drücken Sie auf "Berechnen".
Ergebnisse
Numerisches Beispiel unter Verwendung der obigen Formeln
Sei \( V_i = 10 ; \angle \; 0 \)
Frequenz \( f = 1 \; kHz \), \( C = 10 \; \mu F \), \( L = 10 \; mH \) und \( R = 100 \; \Omega \)
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 10^3 10^{-2} = 62.83 \; \Omega \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2 \pi f C} = \dfrac{1}{2 \pi 10^3 10^{-5} } = 15.92 \; \Omega \)
Gruppieren Sie die imaginären Terme
\( Z = 100 + j ( 62.83 - 15.92 ) \)
Vereinfachen
\( Z = 100 + j ( 62.83 - 15.92 ) = 100 + 46.91 j\)
in Phasenform
\( Z = 110.45 \; \angle \; 25.13^{\circ} \)
\( I = \dfrac{V_0}{Z} = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \angle \; -\theta \)
\( \quad \quad = \dfrac{10}{110.45} \; \angle \; - 25.13 ^{\circ} = 0.091 \; \angle \; - 25.13 ^{\circ} \)
\( V_C = I (- j X_C) = \dfrac{V_0 \cdot X_C}{|Z|} \; \angle \; -\theta - 90\)
\( \quad \quad = \dfrac{10 \cdot 15.92 }{110.45} \; \angle \; - 25.13 - 90 = 1.441 \; \angle \; -115.13 ^{\circ} \)
\( V_L = I (X_L j) = \dfrac{V_0 \cdot X_L}{|Z|} \; \angle \; -\theta + 90\)
\( \quad \quad = \dfrac{10 \cdot 62.83 }{110.45} \; \angle \; - 25.13 + 90 = 5.689 \; \angle \; 64.87 ^{\circ} \)
\( V_R = I R = \dfrac{V_0 R}{|Z|} \; \angle \; -\theta \)
\( \quad \quad = \dfrac{10 \cdot 100 }{110.45} \; \angle \; - 25.13 = 9.054 \; \angle \; - 25.13^{\circ} \)
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