Réponse du circuit RLC série à une tension d'échelon

Table des matières

Utilisation des transformées de Laplace pour étudier la réponse d'un circuit RLC à une tension d'échelon. Les formules pour le courant et toutes les tensions sont développées et des exemples numériques sont présentés avec leurs solutions détaillées.
Un calculateur en ligne pour la réponse d'échelon d'un circuit RLC série peut être utilisé pour vérifier les calculs effectués manuellement.

Formules pour le Courant et les Tensions dans un Circuit RLC Série en Réponse à une Tension d'Échelon

Problème
Trouver les expressions du courant \( i \) et des tensions à travers le condensateur \( C \), les bobines \( L \) et la résistance \( R \) en fonction du temps dans le circuit ci-dessous sachant que la source de tension \( v_i = V_0 \; u(t) \), où \( V_0\) est une constante et \( u(t) \) est la fonction échelon unitaire. Le courant initial à \( t = 0 \) est égal à zéro.

Solution du Problème
Utilisez la loi de Kirchhoff des tensions pour écrire
\( v_i - v_R - v_L - v_C = 0 \)       (I)
Utilisez la loi d'Ohm pour écrire
\( v_R = R \; i \)
Relation entre la tension et le courant de charge d'un condensateur
\( \displaystyle v_C = \dfrac{1}{C} \; \int i dt \)
Relation entre la tension et le courant de charge d'une bobine
\( \displaystyle v_L = L \; \dfrac{d i}{dt} \)
Substituez \( v_R \), \( v_L \) et \( v_C \) par leurs expressions dans l'équation (I)
\( \displaystyle v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt = 0 \)
Prenez la transformée de Laplace des deux côtés de l'équation ci-dessus
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Utilisez la propriété de linéarité de la transformée de Laplace et aussi le fait que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) pour réécrire ce qui précède comme suit
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i \} - R \mathscr{L}\{ i \} - L \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} - \dfrac{1}{C} \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = 0 \)
Puisque \( v_i(t) = V_0 \; u(t) \) où \( V_0 \) est une constante et \( u(t) \) est la fonction échelon unitaire, \( \mathscr{L}\{ v_i \} = \dfrac{V_0}{s} \)
Soit \( \mathscr{L}\{ i\} = I(s) \)
Utilisez la propriété de la dérivée et de l'intégrale (voir les formules et les propriétés de la transformée de Laplace) pour écrire
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i }{dt} \right\} = s I(s) - i(0) = s I(s) \) puisque le courant initial est égal à zéro \( i(0) = 0 \)
\( \displaystyle \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = \dfrac{I(s)}{s} \)
Après substitution, notre équation devient
\( \dfrac{V_0}{s} - R \; I(s) - L \; s \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C s} = 0 \)
REMARQUE que nous avons transformé notre équation différentielle initiale du domaine \( t \) (temps) au domaine \( s \).
Multipliez tous les termes dans l'équation ci-dessus par \( s \) et simplifiez
\( V_0 - R \; s \; I(s) - L \; s^2 \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C} = 0 \)
Factorisez \( I(s) \) et réécrivez l'équation ci-dessus comme
\( I(s) (L \; s^2 + R \; s +\dfrac{1}{C}) = V_0 \)
Résolvez ce qui précède pour \( I(s) \) et réécrivez comme suit
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L} s + \dfrac{1}{L C} } \)
Complétez le carré dans le dénominateur
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \dfrac{R}{2 L} \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)
Soit \( \alpha = \dfrac{R}{2L} \)
et réécrivez l'équation ci-dessus comme
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)

Nous envisageons maintenant 3 cas en fonction du signe de l'expression \( \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)
Cas 1 : \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : Le circuit est sous-amorti

Soit \( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \) et réécrivez \( I(s) \) comme
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\omega L} \times \dfrac{\omega}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \omega^2 } \)
Utilisez les formules et propriétés de la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse de \( I(s) \) comme
Pour \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) et nous avons ce qui suit
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{\omega L} \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} - V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)

Applications Numériques - Exemple 1 - Circuit Sous-Amorti
Soit \( V_0 = 1 \; V\) , \( R = 10 \; \Omega \) , \( L = 0.4 \; H \) et \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 156.25 \)
Ainsi \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; le circuit est sous-amorti
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2 \times 0.4} = 12.50 \)
\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{10}{2 \times 0.4}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{ 10}{2 \times 0.4}\right)^2} = 223.26 \)
\( i(t) = \dfrac{1}{223.26 \times 0.4} \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
Simplifiez
\( i(t) = 0.011 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
Les tensions peuvent être calculées comme suit
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 0.11198 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
\( v_L(t) = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \left\{ \cos \left(223.26t\right) - 0.0559875 \sin (223.26t ) \right\}e^{-12.5t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - \left\{ \cos (223.26t) + 0.055988 \sin (223.26t) \right\} e^{-12.5t} \)
Vous pouvez utiliser la calculatrice pour la réponse d'un circuit RLC série pour vérifier tous les calculs ci-dessus.

Cas 2 : \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : Le circuit est sur-amorti

Soit \( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) et réécrivez \( I(s) \) comme
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\beta L} \times \dfrac{\beta}{ \left(s + \alpha \right)^2 - \beta^2 } \)
Utilisez les formules et propriétés de la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse de \( I(s) \) comme
Pour \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) et nous avons ce qui suit
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \left\{ \dfrac{e^{\beta t} - e^{\beta t}} {2} \right\} \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} - \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)

Applications Numériques - Exemple 2 - Circuit Suramorti
Soit \( V_0 = 1 \; V\), \( R = 200 \; \Omega\), \( L = 0,4 \; H\) et \( C = 50 \;\mu F\)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 62500 \)
Ainsi \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; le circuit est suramorti
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{200}{2 \times 0,4} = 250 \)
\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L} - \dfrac{1}{L C}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0,4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{200}{2 \times 0,4}\right)^2} = 111,80339 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 0,01118 \; \left\{ e^{ -138,2 t} - e^{ -361,8 t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\(\quad \quad = 2,23613 \; \left\{ e^{ -138,2 t} - e^{ -361,8 t} \right\} \)

\( v_L (t) = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = -0,617754 e^{ -138,2 t} + 1,617246 e^{ -361,8 t} \)

\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 1 - 1,61806 e^{ -138,2 t} + 0,61806 e^{-361,8 t} \)
Vous pouvez utiliser la calculatrice pour la réponse indicielle d'un circuit RLC série pour vérifier tous les calculs ci-dessus.

Cas 3: \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : Le circuit est critiquement amorti

\( I(s) \) se simplifie en
\( I(s) = \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2} \dfrac{V_0}{L} \)
Utilisez les formules et propriétés de la transformation de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse de \( I(s) \) comme
Pour \( t \ge 0 \) , \( v_i (t) = V_0 \) et nous avons ce qui suit
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left( 1 - \alpha t \right) e^{-at} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} - V_0 e^{-at} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)

Applications Numériques - Exemple 3 - Circuit Critiquement Amorti
Soit \( V_0 = 1 \; V\), \( R = 100 \; \Omega\), \( L = 0,4 \; H\) et \( C = 160 \;\mu F\)
\( \dfrac{1}{L C} = 15625\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 15625 \)
Donc \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ; le circuit est critiquement amorti
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{100}{2 \times 0,4} = 125 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( i(t) = 2,5 \; t \; e^{- 125 t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\(\quad \quad = 250 e^{ - 125 t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( 1 - \alpha t ) e^{-at} \)
\( \quad \quad = (1 - 125) e^{ - 125 t} \)
\(v_C (t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - (1 + 125) e^{ - 125 t} \)
Vous pouvez utiliser la calculatrice pour la réponse d'un circuit RLC série à un echelon pour vérifier tous les calculs ci-dessus.

Plus de Références et Liens