Trouvez et tracez les tensions aux bornes du condensateur \( C \) et de la résistance \( R \) ainsi que le courant \( i \) en fonction du temps dans le circuit ci-dessous
Fig.1 - Circuit RC passe-bas
étant donné que la tension d'entrée est \( v_i(t) \) est une onde carrée comme indiqué dans le graphique ci-dessous.
Fig.2 - Onde Carrée en Entrée du Circuit RCSolution au Problème
L' équation, dans le domaine \( s \)
, reliant la tension \( V_C(s) \) aux bornes du condensateur et la tension d'entrée \( V_i(s) \) dans un circuit RC a déjà été déterminée.
\( V_i(s) - R \; C \; s \; V_C(s) - V_C(s) = 0 \) (I)
Nous devons maintenant déterminer la transformée de Laplace \( V_i(s) \) de l'onde carrée \( v_i(t) \).
Nous exprimons d'abord l'onde carrée comme une somme de fonctions échelon décalées comme suit
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
Nous prenons la transformée de Laplace des deux côtés de l'équation ci-dessus et utilisons la propriété de linéarité de la transformée de Laplace pour écrire
\( \displaystyle \mathscr{L} \{ v_i (t) \} = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L} \{ u(t - n\;T) \} - \mathscr{L} \{ u (t-(n+1/2)\;T) \} \right\} \)
La transformée de Laplace d'une fonction échelon décalée de la forme \( u(t - \alpha) \) est donnée par
\( \dfrac{e^{-\alpha s }}{s} \)
Nous utilisons cela pour écrire la transformée de Laplace \( V_i(s) = \mathscr{L} \{ v_i (t) \} \) comme
\( \displaystyle V_i(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} \)
Substituez \( V_i(s) \) dans l'équation (i) par l'expression ci-dessus et résolvez pour \( V_C(s) \) et placez tous les termes avec \( V_C(s) \) à droite
\( \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} = R \; C \; s \; V
_C(s) + V_C(s) \)
Résoudre pour \( V_C(s) \)
\( \displaystyle V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T s} \right\} \) (II)
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Divisez le numérateur et le dénominateur dans le terme du côté droit par \( R\;C \) et factorez \( V_0 \) et réécrivez-le comme
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Substituez ce qui précède dans l'expression de \( V_C(s) \) donnée dans (II) pour écrire \( V_C(s) \) comme
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T \; s} \right\} \)
Le ci-dessus peut être écrit comme
Nous utilisons maintenant les formules et propriétés de la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse \( v_C(t) \) (domaine temporel) de \( V_C(s) \)
Nous devons appliquer la transformation inverse de Laplace pour trouver \( v_C(t) \) à partir de \( V_C(s) \)
\( \displaystyle v_C(t) = \mathscr{L^{-1}} \left\{ V_c(s) \right\} \)
\( \displaystyle = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\}
\\\\
\quad \quad \quad \quad - \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-(n+1/2)\;T \; s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \right\} \)
Les deux termes principaux entre les accolades peuvent être écrits comme
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) \)
La Propriété 2 dans les propriétés de la transformée de Laplace peut être écrite comme
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) = u(t- \tau) f(t - \tau) \) , où \( f(t) \) est la transformée de Laplace inverse de \( F(s) \)
Nous utilisons maintenant les formules de la transformée de Laplace pour évaluer
\( \displaystyle \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( \displaystyle = \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( = u(t) - u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} = u(t)(1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \)
En utilisant tout ce qui précède, nous écrivons maintenant \( v_C(t) \) comme
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right)
\\\\
\quad \quad \quad \quad
- u(t-(n+1
/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)
Applications Numériques
Soit \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) et \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (secondes)
Ci-dessous sont présentés les graphiques de l'entrée \(v_i(t) \) sous forme d'onde carrée définie ci-dessus comme une somme de fonctions échelon décalées et la tension \( v_C(t) \) aux bornes du condensateur également donnée ci-dessus. Il y a quatre graphiques pour différentes valeurs de la période \( T \) de l'onde carrée d'entrée.
a) \( T = 15 RC = 15 \) s
Fig.3 - Graphiques de l'onde carrée d'entrée et de la tension v_C(t) aux bornes du condensateur pour une période T = 15 RC
b) \( T = 10 RC = 10 \) s
Fig.4 - Graphiques de l'onde carrée d'entrée et de la tension v_C(t) aux bornes du condensateur pour une période T = 10 RC
c) \( T = 5 RC = 5 \) s
Fig.5 - Graphiques de l'onde carrée d'entrée et de la tension v_C(t) aux bornes du condensateur pour une période T = 5 RC
d) \( T = 2 RC = 2 \) s
Fig.6 - Graphiques de l'onde carrée d'entrée et de la tension v_C(t) aux bornes du condensateur pour une période T = 2 RC
