Réponse du Circuit RC à un Échelon de Tension
Table des matières
L'utilisation des transformées de Laplace pour étudier la réponse des circuits RC aux variations rapides de la tension d'entrée et des courants est présentée sous forme d'exemples avec des solutions détaillées. Nous montrons également comment modéliser mathématiquement les processus de charge et de décharge d'un condensateur. Un calculateur en ligne pour calculer les expressions des tensions et courants est également inclus.
\( \)\( \)\( \)
Problèmes avec Solutions
Problème 1 Chargement d'un condensateur
Trouvez et tracez les tensions aux bornes du condensateur \( C \) et de la résistance \( R \) ainsi que le courant \( i \) en fonction du temps dans le circuit ci-dessous sachant que la tension d'entrée est \( v_i = V_0 \; u(t) \), où \( V_0 = 10 \) V est une constante et \( u(t) \) est la fonction échelon de Heaviside, les résistances \( R = 200 \; \Omega \) et \( C = 5 \) mF. À \( t = 0 \), la tension aux bornes du condensateur est égale à zéro.
Solution au Problème 1
Utilisez la loi des tensions de Kirchhoff pour écrire
\( v_i(t) - v_R(t) - v_C(t) = 0 \) (I)
Utilisez la loi d'Ohm pour écrire
\( v_R(t) = R \; i(t) \)
La relation entre la tension et le courant de charge d'un condensateur est donnée par
\( \displaystyle v_C (t) = \dfrac{1}{C} \int i dt \)
Prenez la dérivée des deux côtés de l'équation ci-dessus et réécrivez-la comme
\( i (t) = C \dfrac{d v_C}{dt} \)
\(v_R (t) = R i (t) = R C \dfrac{v_C}{dt} \)
Ainsi, l'équation (I) peut être écrite comme
\( v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) = 0 \)
Prenez la transformée de Laplace des deux côtés de l'équation ci-dessus
\( \mathscr{L} \left \{ v_i (t) - R C \dfrac{v_C}{dt} - v_C (t) \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Utilisez la propriété de linéarité de la transformée de Laplace et aussi le fait que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) pour réécrire ce qui précède comme
\( \mathscr{L} \left\{ v_i (t) \right\} - R\;C \mathscr{L} \left \{ \dfrac{v_C}{dt} \right \} - \mathscr{L} \left\{ v_C (t) \right \} = 0 \) (II)
Soit \( \mathscr{L}\{ v_i (t) \} = V_i(s) \) et \( \mathscr{L}\{ v_C (t) \} = V_C(s) \)
Utilisez la propriété de la dérivée par rapport au temps \( t \) pour réécrire (voir formules et propriétés de la transformée de Laplace)
\( \mathscr{L} \left\{ \d
frac{v_C}{dt} \right \} = s V_C(s) - v_C(0) \)
Étant donné qu'à \( t = 0 \), la tension aux bornes du condensateur est égale à zéro, nous avons \( v_C(0) = 0 \) , l'équation (II) peut être écrite comme
\( V_i(s) - R C s V_C(s) - V_C(s) = 0 \)
REMARQUE que nous avons transformé notre équation différentielle initiale du domaine temporel \( t \) au domaine \( s \).
La transformée de Laplace \( V_i(s) \) de \( v_i(t) = V_0 u(t) \) est donnée par (voir formules et propriétés de la transformée de Laplace)
\( V_i(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
L'équation dans le domaine \( s \) devient
\( R C s V_C(s) + V_C(s) = \dfrac{V_0}{s} \)
Factorisez \( V_C(s) \) du côté gauche
\( V_C(s) (R\;C\;s + 1) = \dfrac{V_0}{s} \)
Résolvez pour \( V_C(s)\) pour obtenir
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} \)
Décomposez cela en fractions partielles pour réécrire cela comme ( voir Annexe A en bas de la page pour des calculs détaillés).
\( V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Divisez le numérateur et le dénominateur dans le deuxième terme du côté droit de l'équation ci-dessus par \( R\;C \) et factorisez \( V_0 \) pour réécrire \( V_C(s) \) comme
\( V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
Nous utilisons maintenant les formules et propriétés de la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse \( v_C(t) \) (domaine temporel) de \( V_C(s) \)
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} = u(t) \)
et
\( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} = u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Ainsi
\( v_C(t) = V_0 (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) u(t) \)
La tension \( v_R(t) \) aux bornes de la résistance est donnée par
\( v_R (t) = v_i - v_C = V_0 u(t) - V_0 u(t) (1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) = V_0 e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
Le courant \( i(t) \) est donné par
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} e^{-\frac{t}{R\;C}} u(t) \)
Notes : La tension \( v_C(t) \) aux bornes du condensateur augmente avec le temps selon une fonction exponentielle naturelle \( e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \) et donc le paramètre \( R\;C \) est appelé la constante de temps.
Applications Numériques
Soit \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) et \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (secondes)
\( v_C(t) = 10 (1 - e^{-t} ) u(t) \) V
\( v_R (t) = 10 e^{-t} u(t) \) V
\( i(t) = 0.05 e^{-t} u(t) \) A
Les graphiques du courant et des tensions sont présentés ci-dessous.
Notez ce qui suit à \( t = 0 \) :
1) Parce que le condensateur n'était pas chargé avant \( t = 0 \), la tension \( v_C(0) \) aux bornes du condensateur est égale à zéro et le condensateur se comporte comme un court-circuit à \( t = 0 \). \( v_C(t) \) commence à augmenter à mesure que \( t \) augmente et cela explique le processus de charge du condensateur.
2) la tension \( v_R (0) \) aux bornes de la résistance est égale à la tension de la source \( 10 \) V et
commence à diminuer à mesure que \( t \) augmente.
3) Le courant \( i(0) \) est à sa valeur maximale \( \dfrac{v_i(0) - v_C(0)}{R} = \dfrac{10 - 0}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A et diminue à mesure que \( t \) augmente.
Notez ce qui suit lorsque \( t \) est grand :
\( v_C(t) \) est presque égal à \( v_i(t) \) ce qui signifie que le condensateur est entièrement chargé. Le courant \( i(t) \) est presque nul car le condensateur se comporte comme un circuit ouvert .
Problème 2 Décharge d'un condensateur
Le condensateur \( C \) dans le circuit ci-dessous est initialement chargé à \( V_0 = 10 \) Volts. À \( t = 0 \), l'interrupteur S du circuit est fermé. Trouvez et tracez les tensions aux bornes du condensateur \( C \) et de la résistance \( R \), ainsi que le courant \( i \) en fonction du temps \( t \).
Solution du Problème 2
Utilisez la loi des tensions de Kirchhoff pour écrire
\( v_C(t) - v_R (t) = 0 \) (I)
Utilisez la loi d'Ohm pour écrire
\( v_R (t) = R \; i (t) \)
La relation entre la tension aux bornes d'un condensateur et le courant le traversant est la suivante :
Soit \( Q_0 \) la charge initiale du condensateur à \(t=0\). Comme le condensateur se décharge, la charge totale diminuera et s'écrira comme
\( \displaystyle Q(t) = Q_0 - \int_0^{t} i(\tau) d\tau \)
La tension \( v_C(t) \) aux bornes du condensateur est donnée par
\( v_C(t) = \dfrac{Q(t)}{C} = \dfrac{Q_0}{C} - \dfrac{ \displaystyle \int i dt \ }{C } \)
Prenez la dérivée du côté gauche et du côté droit
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d (Q_0 - \displaystyle \int i dt) }{d t } \)
Utilisez la linéarité de la dérivée pour écrire
\( \dfrac{d v_C}{d t } = \dfrac{1}{C} \dfrac{d Q_0}{dt} - \dfrac{1}{C} \dfrac{d(\displaystyle \int i dt) }{d t } \)
\( Q_0 \) est une constante et sa dérivée est égale à zéro, donc ce qui précède peut être simplifié en
\( \dfrac{d v_C}{d t } = - \dfrac{1}{C} i \)
ce qui peut être écrit comme
\( i(t) = - C \; \dfrac{v_C}{dt} \) REMARQUE le signe négatif est dû au fait que le condensateur se décharge .
Remplacez \( i(t) \) dans \( v_R (t) \) ci-dessus pour obtenir
\(v_R (t) = R \; i (t) = - R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \)
L'équation (I) peut donc être écrite comme
\( v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} = 0 \)
Prenez la transformée de Laplace des deux côtés de l'équation ci-dessus
\( \mathscr{L} \left \{ v_C (t) + R \; C \; \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
Utilisez la propriété de linéarité de la transformée de Laplace et aussi le fait que \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) pour réécrire ce qui précède comme
\( \mathscr{L} \left\{ v_C(t) \right \} + R\;C\;\mathscr{L} \left\{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = 0 \) (II)
Soit \( \mathscr{L}\{ v_C(t) \} = V_C(s) \)
Utilisez la propriété de la dérivée par rapport au temps \( t \) pour écrire (voir formules et propriétés de la transformée de Laplace)
\( \mathscr{L} \left \{ \dfrac{d v_C}{dt} \right \} = s \; V_C(s) - v_C(0) \)
Étant donné qu'à \( t = 0 \), le condensateur est chargé et sa tension est égale à \( V_0 \), nous avons donc \( v_C(0) = V_0 \) ; et en substituant dans l'équation (II) pour obtenir
\( V_C(s) + R \; C \; ( s \; V_C(s) - V_0 ) = 0 \)
Réécrivez l'équation ci-dessus comme
\( V_C(s) \; (R\;C\;s + 1) = R \; C \; V_0 \)
Résolvez pour \( V_C(s)\) pour obtenir
\( V_C(s) = \dfrac{R \; C \; V_0}{R \; C \; s + 1} \)
Divisez le numérateur et le dénominateur par \( R \; C \)
\( V_C(s) = \dfrac{ V_0}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \)
\( v_C(t) \
) est donnée par la transformée de Laplace inverse ; donc
\( v_C(t) = V_0 \left( \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \right) \)
Nous utilisons maintenant les formules et propriétés de la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse \( v_C(t) \) (domaine temporel) de \( V_C(s) \)
Donc
\( v_C(t) = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
La tension \( v_R(t) \) aux bornes de la résistance est donnée par
\( v_R (t) = v_C = V_0 \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Le courant \( i(t) \) est donné par
\( i(t) = \dfrac{v_R}{R} = \dfrac{V_0}{R} \; e^{-\frac{t}{R\;C}} \)
Applications numériques : \( V_0 = 10 \) V , \( R = 200 \; \Omega \) et \( C = 5 \) mF.
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) s (secondes)
\( v_C(t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( v_R (t) = 10 \; e^{-t} \) V
\( i(t) = 0.05 \; e^{-t} \) A
Les graphiques du courant et des tensions sont montrés ci-dessous.
Notez ce qui suit à \( t = 0 \):
1) Parce que le condensateur était chargé avant \( t = 0 \) à la tension \( v_C(0) = 10 \) Volts, il commence à diminuer lorsque \( t \) augmente et cela explique le processus de décharge du condensateur.
2) À \( t = 0 \); \( v_R (0) = v_C(0) = 10\).
3) À \( t = 0\), le courant \( i(0) \) est à son maximum donné par \( i(0) = \dfrac{v_R(0)}{R} = \dfrac{10}{200} = 10 / 200 = 0.05 \) A et commence à diminuer lorsque \( t \) augmente.
Notez ce qui suit lorsque \( t \) est grand:
À de grandes valeurs de \( t \), toutes les tensions et le courant sont presque égaux à zéro car le condensateur s'est complètement déchargé et l'énergie qui était stockée dans le condensateur est dissipée sous forme de chaleur par la résistance \( R \).
Annexe
Annexe A
Développez en fractions partielles ; trouvez \( A \) et \( B \) tels que
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{R\;C s + 1} \)
Multipliez tous les termes ci-dessus par \( s(R\;C s + 1) \) et simplifiez
\( V_0 = A(R\;C\;s + 1) + B s \) (1)
Définissez \( s = 0 \) dans l'équation (1) pour obtenir
\( A = V_0 \)
Définissez \( A = V_0 \) et \( s = 1 \) dans l'équation (1)
\( V_0 = V_0 \times (R\;C \times 1 + 1) + B \times 1 \)
Simplifiez et résolvez pour \( B \)
\( B = - R\;C V_0 \)
D'où la décomposition en fractions partielles
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
Plus de Références et Liens
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