Fonction Delta de Dirac et Fonction Echelon Heaviside - Exemples avec Solutions

Table des Matières

La fonction delta de Dirac \( \delta(t) \) et la fonction echelon Heaviside \( u(t) \) sont présentées avec des exemples et des solutions détaillées. Ces deux fonctions sont utilisées dans la modélisation mathématique de divers systèmes d'ingénierie. Quelques exemples de modélisation des réponses des circuits électriques aux tensions d'étape unitaire sont inclus.

\( \)\( \)\( \)

Fonction Echelon Heaviside \( u(t) \)

La fonction echelon Heaviside écrite comme \( u(t) \) (aussi appelée fonction de Heaviside et écrite comme \( H(t) \) ) est définie comme suit
\( u(t) = \begin{cases} 0 & \text{pour } t \lt 0 \\ 1 & \text{pour } t \ge 0 \\ \end{cases} \)

graph of unit step function — Fig.1 - Graphique de la Fonction Echelon Heaviside

ce qui conduit donc à
\( u(t - t_0) = \begin{cases} 0, & \text{pour } t \lt t_0 \\ 1, & \text{pour } t \ge t_0 \\ \end{cases} \)
L'un des principaux usages de la fonction d'étape est de modéliser un interrupteur par exemple.
Supposons que nous devons appliquer une tension \( v(t) \) à un circuit au temps \( t = t_0 \), la tension en fonction du temps peut être représentée par \( v(t) u(t-t_0) \) de sorte que
\( v(t) u(t-t_0) \begin{cases} v(t) &\mbox{si } t \ge t_0 \\ 0 & \mbox{si } t \lt t_0 \end{cases} \)
Un exemple, le graphique de \( t^2 u(t-1) \) est montré ci-dessous.

unit step function used to model a switch — Fig.2 - Fonction Echelon Heaviside Utilisée pour Modéliser un Interrupteur

Les additions et soustractions de fonctions d'étape peuvent être utilisées pour modéliser des impulsions ; un exemple est montré ci-dessous.

unit step function used to model a pulse — Fig.3 - Fonction Echelon Heaviside Utilisée pour Modéliser une Impulsion

Fonction Delta de Dirac \( \delta(t) \)

La fonction delta de Dirac est définie par l'intégrale
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{t} \delta (\tau - t_0) d\tau = u(t - t_0) \)
Bien que la fonction d'étape unitaire \( u(t - t_0) \) soit discontinue à \( t = t_0 \), nous pouvons définir la dérivée de la fonction d'étape par la fonction delta de Dirac comme suit
\( \dfrac{d u(t - t_0)}{dt} = \delta (t - t_0) \)
qui peut prendre une valeur "très grande" à \( t = t_0 \) et donc la fonction delta de Dirac peut également être vue comme
\( \delta(t - t_0) = \begin{cases} \infty & \text{pour } t = t_0 \\ 0 & \text{pour } t \ne t_0 \\ \end{cases} \)
La fonction delta de Dirac définit la dérivée à une discontinuité finie ; un exemple est montré ci-dessous.

graphical relationship between Dirac delta function and unit step function — Fig. 4 - Relation Graphique Entre la Fonction Delta de Dirac et la Fonction Echelon Heaviside

La fonction delta de Dirac a les propriétés suivantes :

\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = f(t_0) \) si \( a \lt t_0 \lt b \) ( ou \( t_0 \) est à l'intérieur de l'intervalle d'intégration ).
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \delta (t - t_0) dt = 0 \) si \( t_0 \gt b \) ou \( t_0 \lt a \) ( ou \( t_0 \) est à l'extérieur de l'intervalle d'intégration ).
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t) dt = 1 \)
\( \delta (t - t_0) = \delta (t_0 - t) \) parce que \( \delta(t) \) est une fonction paire
\( f(t) \delta (t - t_0) = f(t_0) \delta (t - t_0) \)
\( \displaystyle \delta(t) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{\infty}^{\infty} e^{ipt} dp\)
\( \delta( k t) = \dfrac{1}{|k|} \delta(t) \) pour \( k \ne 0 \)

Exemples avec Solutions

Exemple 1
Évaluez les intégrales :
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt \)      b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt \)      c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt \)      d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt \)      e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt \)
Solution pour l'Exemple 1

a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \)      en appliquant la propriété 1 ci-dessus puisque \( -\infty \lt 0 \lt \infty \)

b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \)      en appliquant la propriété 1 ci-dessus puisque \( -\infty \lt 4 \lt \infty \)

c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\)      en appliquant la propriété 1 ci-dessus puisque \( 0^- \lt 0 \lt \infty \)

d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \)      en appliquant la propriété 2 ci-dessus puisque \( - 3 \lt 0 \) ou \( -3 \) est à l'extérieur de l'intervalle d'intégration.

e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \)      en appliquant la propriété 2 ci-dessus puisque \( 0 \lt 0^+ \) ou \( 0 \) est à l'extérieur de l'intervalle d'intégration.

Exemple 2
Évaluez les dérivées de :
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \) b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)
Solution pour l'Exemple 2
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)

Exemple 3
Utilisez la fonction echelon \( u(t) \) pour écrire des équations pour les graphiques montrés ci-dessous et leurs dérivées.
a) graph 1 example 3 step functions b) graph 2 example 3 step functions c) graph 3 example 3 step functions d) graph 4 example 3 step functions
Solution pour l'Exemple 3
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \) derivative of graph 1 example 3 step functions
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \) derivative of graph 2 example 3 step functions
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \) derivative of graph 3 example 3 step functions
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\) derivative of graph 4 example 3 step functions

Plus de Références et Liens

Fonction Echelon Heaviside