Réponse d'un Circuit RLC Série à un échelon - Calculatrice

Table des Matières

Une calculatrice en ligne pour calculer le courant à travers et les tensions aux bornes d'une résistance, d'un condensateur et d'une inductance en série lorsque l'entrée est une tension d'échelon de la forme \( V_0 u(t) \) où \( u(t) \) est la fonction échelon unitaire.

Formules pour le Courant et les Tensions dans un circuit RLC série à une Tension d'Entrée d'Échelon

Nous donnons d'abord les formules utilisées dans la calculatrice de circuit RLC série.


Les formules développées dans la réponse du circuit RLC série à une tension d'échelon sont présentées ici telles qu'elles sont utilisées dans la calculatrice.
Dans les formules ci-dessous, \( \alpha = \dfrac{R}{2 L} \)
Lorsqu'une fonction d'échelon de tension de la forme \( V_0 u(t) \) est présente, nous avons trois cas possibles à considérer :
Cas 1: Le circuit est sous-amorti lorsque \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)

Soit \( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \)
Le courant et les tensions sont donnés par
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) ) e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)



Cas 2: Le circuit est surdéterminé lorsque \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)

Soit \( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) et réécrire \( I(s) \) comme
Le courant et les tensions sont donnés par
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)



Cas 3: Le circuit est critiquement amorti \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \)

Le courant et les tensions sont donnés par
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = V_0 e^{- \alpha t} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)

Utilisation de la calculatrice

Résultats

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