La fonction de transfert
générale de deux circuits en cascade est présentée et son application à différents circuits est expliquée avec des exemples et leurs solutions détaillées.
Les problèmes et leurs solutions sont également inclus. Les problèmes et leurs solutions sont également inclus.
A - Formule de la Fonction de Transfert de Deux Circuits en Cascade
Nous considérons les deux circuits en cascade ci-dessous et trouvons la fonction de transfert \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) en fonction des quatre \( Z_1, Z_2, Z_3 \) et \( Z_4 \)
Circuits Généraux en Cascade
Nous utilisons les lois de Kirchhoff sur les courants et les tensions et la loi d'Ohm pour écrire les équations suivantes
\( \qquad I = I_1 + I_2 \qquad (I)\) Loi des courants de Kirchhoff au nœud supérieur
\( \qquad V_{in} = Z_1 I + Z_2 I_2 \qquad (II)\) Loi des tensions de Kirchhoff sur la boucle fermée à gauche
\( \qquad Z_2 I_2 = (Z_3 + Z_4) I_1 \qquad (III)\) Loi des tensions de Kirchhoff sur la boucle fermée à droite
\( \qquad V_{out} = Z_4 I_1 \qquad (IV)\) Loi d'Ohm pour la tension à travers \( R_2 \)
Utilisez les équations (II) et (IV) pour écrire la fonction de transfert \( H( s ) \) comme suit
\( \qquad H(s) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 I + Z_2 I_2} \)
Utilisez l'équation (I) pour remplacer \( I \) par \( I_1 + I_2 \) dans \( H(s)\) ci-dessus
\( \qquad H(s) = \dfrac{ Z_4 I_1 }{Z_1 ( I_1 + I_2) + Z_2 I_2} \)
Divisez le numérateur et le dénominateur ci-dessus par \( I_1\), simplifiez et réécrivez comme
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4}{Z_1 \left( 1+ \dfrac{I_2}{I_1} \right) + Z_2 \dfrac{I_2}{I_1}} \qquad (V) \)
Utilisez l'équation (III) pour obtenir
\( \qquad \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{Z_3 + Z_4}{Z_2} \)
Remplacez \( \dfrac{I_2}{I_1} \) par ce qui précède dans \( (IV) \) et réarrangez pour obtenir \( H(s) \)
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \qquad (I) \]
B - Application de la Formule de la Fonction de Transfert de Deux Circuits en Cascade
Il est maintenant démontré comment la formule ci-dessus pourrait être utilisée dans n'importe quel circuit pouvant être identifié comme un circuit en cascade à deux étages.
Exemple 1
Trouvez la fonction de transfert dans le domaine de la fréquence du circuit
ci-dessous.
Solution de l'Exemple 1
En comparant le circuit donné avec le circuit général ci-dessus, nous pouvons écrire
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = 0 \) et \( Z_4 = L s \)
où \( s = j \omega \) et \( \omega \) est la fréquence angulaire.
Nous substituons maintenant les impédances \( Z_1, Z_2, Z_3 \) et \( Z_4 \) dans la formule générale obtenue ci-dessus pour écrire
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
Nous substituons \( s = j \omega \) et écrivons
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_2 \; L \; \omega\; s }{j \; (R_1 + R_2) \; \omega \; L\;s + R_1 \; R_2} \)
Exemple 2
Trouvez la fonction de transfert dans le domaine de la fréquence du circuit ci-dessous.
Solution de l'Exemple 2
En comparant le circuit donné avec le circuit plus général ci-dessus, nous pouvons écrire
\( \qquad Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \) , \( Z_3 = \dfrac{1}{C s} \) et \( Z_4 = L s \)
où \( s = j \omega \) et \( \omega \) est la fréquence angulaire.
Nous substituons maintenant les impédances \( Z_1, Z_2, Z_3 \) et \( Z_4 \) dans la formule générale obtenue ci-dessus pour écrire
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; s }{(R_1 + R_2) (\; L\;s + \dfrac{1}{C s}) + R_1 \; R_2} \)
Multiplier le numérateur et le dénominateur par \( C s \) et simplifier
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_2 \; L \; C \; s^2 }{(R_1 + R_2) C \; L\;s^2 + R_1 \; R_2 \; C s + R_1 + R_2} \)
Substituer \( s = j \omega \) et écrire
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{- R_2 \; L \; C \; \omega^2 }{ - (R_1 + R_2) C \; L\;\omega^2 + j \; R_1 \; R_2 \; C \omega + R_1 + R_2} \)
Exemple 3
Trouvez la fonction de transfert dans le domaine de la fréquence du circuit ci-dessous et tracez son amplitude et son argument (ou sa phase).
Solution de l'Exemple 3
Utilisez la formule dans (I) ci-dessus
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_4 Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 Z_2} \)
Nous calculons maintenant les impédances \( Z_1, Z_2, Z_3 \) et \( Z_4 \) en utilisant les valeurs numériques données dans le circuit de la partie b).
\( \qquad Z_1 = 100 \)
,
\( \qquad Z_2 = 0.1 s \) , \( Z_3 = 200 \) , \( Z_4 = 0.3 s \)
Nous substituons maintenant pour obtenir
\( \qquad H(s) = \dfrac{0.03 \; s^2}{(100 + 0.1 \; s)(0.3 s + 200 ) + 10 \; s} \)
Simplifier
\( \qquad H(s) = \dfrac{3 \; s^2}{3 \; s^2 + 6000 \; s + 2000000} \)
Substituer \( s \) par \( j\; \omega \)
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{ - \; 3 \; \omega^2}{- 3 \omega^2 + 2000000+ j \; 6000 \; \omega } \)
Problèmes avec Solutions
Trouvez la fonction de transfert dans le domaine de la fréquence pour chaque circuit ci-dessous dans les parties A et B.
Partie A
Partie B
Solutions aux Problèmes ci-dessus
Partie A
Soit \( \qquad s = j \; \omega \), \( Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = R_3 \) et \( Z_4 = C // L = \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} \)
Substituer \( Z_1, Z_2, Z_3 \) et \( Z_4 \) par leurs expressions dans la formule (I) ci-dessus
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} R_2 }{(R_1 + R_2)\left( \dfrac{Ls}{C L s^2 + 1} + R_3 \right) + R_1 R_2} \)
Multiplier le numérateur et le dénominateur par \( (C L s^2 + 1) \) et simplifier
\(
\qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{(R_1 + R_2)\left( L s + R_3 (C L s^2 + 1) \right) + R_1 R_2 (C L s^2 + 1)} \)
Développer et factoriser les expressions dans le dénominateur
\( \qquad H(s) = \dfrac{ LR_2 s }{ CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2)s^2 + L(R_1+R_2)s + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
Substituer \( s \) par \( j \omega \) pour obtenir
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{ j \; LR_2 \; \omega }{ -CL(R_1 R_3 + R_2R_3 + R_1 R_2) \; \omega^2 + j \; L(R_1+R_2) \; \omega + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2} \)
Partie B
Soit
\( \qquad s = j \omega \), \( Z_1 = R_1 \) , \( Z_2 = R_2 // L = \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \), \( Z_3 = R_3 \) et \( Z_4 = C // R_4 = \dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \)
Substituer \( Z_1, Z_2, Z_3 \) et \( Z_4 \) par leurs expressions dans la formule (I) ci-dessus
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} \right) \left(\dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) }{ \left(R_1 + \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2} \right) \left(\dfrac{R_4}{1+R_4 C s} + R_3 \right) + R_1 \dfrac{R_2 L s}{L s + R_2}} \)
Multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression \( (1+R_4 C s) (L s + R_2) \) et simplifier
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (R_1 (L s + R_2) + R_2 Ls) (R_4 + R_3 (1+R_4 C s)) + R_1 R_2 Ls (1+R_4 C s) } \)
Développer les expressions dans le dénominateur
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{LsR_2R_1+LR_4Cs^2R_2R_1+LsR_1R_3+LR_4Cs^2R_1R_3+LR_4sR_1+R_2R_1R_3+R_4CsR_2R_1R_3+R_4R_2R_1+LsR_2R_3+LR_4Cs^2R_2R_3+LR_4sR_2} \)
Regrouper les termes avec \( s^2 \) et les termes avec \( s \) et factoriser
\( \qquad H(s) = \dfrac{R_4R_2Ls}{ (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 )s^2 + (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2)s +R_2R_1R_3 +R_4R_2R_1 } \)
Substituer \( s = j \omega \) et écrire
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{j \; R_4R_2L \; \omega}{ - (LR_4CR_2R_1+ LR_4CR_1R_3+ LR_4CR_2R_3 ) \; \omega^2 + j \; (LR_2R_1+LR_1R_3+LR_4R_1+R_4CR_2R_1R_3+LR_2R_3+LR_4R_2) \; \omega +R_2R_1 (R_3 +R_4) } \)
