Fonction de transfert dans le domaine fréquentiel

Table des matières

Fonction de transfert dans le domaine fréquentiel des circuits en courant alternatif sont présentées avec des exemples et leurs solutions. Les problèmes et leurs solutions sont également inclus. Problèmes et leurs solutions sont également inclus.
Les idées de l'utilisation des nombres complexes dans les circuits en CA et les calculs dans les circuits RLC sont utilisés pour développer et calculer des fonctions de transfert dans le domaine fréquentiel.
Notez que nous exprimons généralement les impédances en utilisant \( j \omega \). Cependant, pour des expressions d'impédances plus compliquées, il est peut-être plus facile d'utiliser \( s = j \omega \) pour obtenir des expressions simplifiées.
Plus sur les fonctions de transfert des circuits en cascade est inclus.

A - Comportement en fréquence des Impédances des Condensateurs et des Bobines

Les condensateurs et les bobines se comportent différemment selon les fréquences.
À une fréquence donnée \( \omega \), l'impédance \( X_C\) d'un condensateur de capacité \( C \) est donnée par \[ Z_C = \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \] et l'impédance \( X_L\) d'une bobine d'inductance \( L \) est donnée par \[ Z_L = j \; \omega L \] À la fois \( X_C \) et \( X_L \) sont des impédances sous forme complexe et le module de chacun est donné par \[ | Z_C | = \dfrac{1}{\omega \; C} \] \[ | Z_L | = \omega L \] Soit \( C = 100 \mu \; F \) et \( L = 100 \; m H \) et graphique \( | Z_C | \) et \( | Z_L | \)
Les graphiques de \( | Z_C | \) et \( | Z_L | \) par rapport à la fréquence angulaire \( \omega \) sont présentés ci-dessous. Le graphique de \( |Z_C| \) est celui d'une hyperbole et celui de \( |Z_L| \) est celui d'une ligne.



Propriétés importantes à noter :
1) Lorsque la fréquence est petite et proche de zéro, l'impédance \( |Z_C| \) du condensateur est très grande et l'impédance \( |Z_L| \) de la bobine est très petite (proche de zéro).
2) Lorsque la fréquence est grande, l'impédance \( |Z_C| \) du condensateur est très petite (proche de zéro) et l'impédance \( |Z_L| \) de la bobine est grande.
3) En général, les impédances comprennent des combinaisons de résistances, de condensateurs et de bobines et sont donc des fonctions de la fréquence et donc les tensions et les courants sont également des fonctions de la fréquence.
Aussi, lorsqu'une impédance est grande, nous pouvons supposer qu'elle se comporte comme un circuit ouvert et lorsque l'impédance est petite, elle se comporte comme un court-circuit.
Les propriétés ci-dessus nous aident à comprendre les propriétés des différents circuits en courant alternatif.
Notez que si nous écrivons \( s = j \omega \), les impédances du condensateur avec capacité \( C \) peuvent être écrites comme
\[ Z_C = \; \dfrac{1}{ s \; C} \] les impédances de la bobine avec inductance \( L \) peuvent être écrites comme \[ Z_L = s L \]

Révision des Nombres Complexes en Forme Polaire

Dans les nombres complexes, l'unité imaginaire est définie par \( j = \sqrt {-1} \) ou \( j^2 = - 1 \)
La forme polaire d'un nombre complexe \( Z = a + j b \) est donnée par
\( Z = |Z| \; \angle \; \theta \)
où \( |Z| \) et \( \theta \) sont le module et l'argument , de \( Z \), respectivement et sont définis par
\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \) et \( \theta = \arctan \left( \dfrac{b}{a} \right) \) dans la plage \( -\pi \lt \theta \le \pi \)
Un des principaux avantages de l'utilisation des nombres complexes en forme polaire dans les circuits en courant alternatif électronique est la facilité de diviser et de multiplier ces nombres.
Soient deux nombres complexes \( Z_1 \) et \( Z_2 \) donnés en forme polaire comme suit
\( Z_1 = |Z_1| \; \angle \; \theta_1 \) et \( Z_2 = |Z_2| \; \angle \; \theta_2 \)
Produit
Le produit de \( Z_1 \) et \( Z_2 \) est donné par
\( Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1| \cdot |Z_2| \; \angle \; \theta_1 + \theta_2 \)
Division
La division de \( Z_1 \) et \( Z_2 \) est donnée par
\( \dfrac{Z_1}{Z_2} = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \; \angle \; \theta_1 - \theta_2 \)
Puissance
\( Z_1^n \) est donnée par
\( Z_1^n = |Z_1|^n \angle \; n \theta_1 \)

B-Fonction de Transfert de Tension dans le Domaine Fréquentiel

Nous considérons le diviseur de tension simple ci-dessous et utilisons les tensions et les impédances pour exprimer la tension de sortie comme

Exemple 1
Trouvez la fonction de transfert dans le domaine fréquentiel du circuit ci-dessous et tracez sa magnitude et son argument (ou sa phase).



Solution de l'Exemple 1
En utilisant les formules des impédances dans les circuits en CA, dans le circuit RC ci-dessous, la tension de sortie (sous forme complexe) \( V_{out} \) est donnée par
\( V_{out} = \dfrac{\; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} }{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + R } V_{in}\)
Simplifiez le ci-dessus et écrivez la fonction de transfert de tension \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) dans le domaine fréquentiel comme suit

\( H(\omega) = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \)

\( H(\omega) \) est une fonction de transfert dans le domaine fréquentiel car elle donne une relation entre la sortie et l'entrée et elle dépend de la fréquence \( \omega \). La fonction de transfert dans le domaine fréquentiel est un nombre complexe et peut être écrite sous forme polaire qui a été révisée ci-dessus. \[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \] où \( | H(\omega) | \) est le module (magnitude) de \( H(\omega) \) et \( \phi(\omega) \) est l'argument (phase) de \( H(\omega) \).
Le dénominateur de \( H(\omega) = \dfrac {1}{1 + j \omega R \; C} \) obtenu ci-dessus, peut être écrit sous forme polaire comme
\( 1 = 1 \angle 0 \)
et le dénominateur peut être écrit comme
\( 1 + j \omega R \; C = \sqrt{1^2 + (\omega \; R \; C)^2} \; \angle \arctan(\omega \; R \; C) \)
Par conséquent, en utilisant la division de nombres complexes en forme polaire : \( \dfrac{|z_1| \angle \phi_1 }{|z_2| \angle \phi_2 } = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \angle (\phi_1 - \phi_2) \), nous écrivons \( H(\omega) \) comme suit
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + (\omega \; R \; C)^2}}} \; \angle - \arctan(\omega \; R \; C) \)
Utilisez les valeurs numériques de la capacité et de l'inductance données ci-dessus, évaluez \( R C = 100 \times 200 \times 10^{-6} = 0.02\)
Ainsi
\( H(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \; \angle - \arctan(0.02 \; \omega) \)

Le graphique de la magnitude de la fonction de transfert donné par l'expression \( 20 \; \log_{10} \left(\dfrac{1}{\sqrt{{1 + 0.0004 \; \omega^2}}} \right) \) en fonction de la fréquence omega est montré ci-dessous.



Le graphique de la phase de la fonction de transfert donné par l'expression \( - \arctan(0.02 \; \omega) \) (et converti en degrés) en fonction de la fréquence omega est montré ci-dessous.

Exemple 2
Trouvez la fonction de transfert dans le domaine fréquentiel du circuit ci-dessous et tracez sa magnitude et son argument (ou sa phase).



Solution de l'Exemple 2
En utilisant les formules des impédances dans les circuits en CA, dans le circuit RC ci-dessous, la tension de sortie (sous forme complexe) \( V_{out} \) est donnée par
\( V_{out} = \dfrac{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega}{ \; \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} + j \; L \; \omega + R } V_{in}\)

Multipliez le numérateur et le dénominateur par \( j \; \omega \; C \) et simplifiez pour obtenir la fonction de transfert de tension \( \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) dans le domaine de fréquence comme

\( H(\omega) = \dfrac{1 - L \; C \; \omega^2 }{1 - L \; C \; \omega^2 + j \; R \; C \; \omega}\)

La fonction de transfert dans le domaine fréquentiel peut être écrite sous forme polaire comme \[ H(\omega) = | H(\omega) | \; \angle \phi(\omega) \] La magnitude \( | H(\omega) | \) de \( H(\omega) \) est donnée par

\( | H(\omega) | = \dfrac{|1 - L \; C \; \omega^2 |}{\sqrt{ (1 - L \; C \; \omega^2 )^2 + (R \; C \; \omega)^2 }}\)

La phase \( \phi(\omega) \) de \( H(\omega) \) est donnée par

\( \phi(\omega) = - \arctan \left(\dfrac{R \; C \; \omega}{1 - L \; C \; \omega^2} \right) \)
Les graphiques de \( \; 20 \log_{10} | H(\omega) | \) et de la phase \( \phi(\omega) \) sont montrés ci-dessous.

Plus de Références et Liens

• Utilisation des N ombres Complexes dans les Circuits en CA
• Calculs de Courants et Tensions dans les Circuits RLC en Série
• Calculs de Courants et Tensions dans les Circuits RLC
• Calculs d'Impédances en Série et en Parallèle
• Calcul de l'Impédance Équivalente dans les Circuits en CA.
• Formules des Impédances dans les Circuits en CA
• Nombres Complexes en Forme Polaire