Un calculateur interactif pour résoudre les équations différentielles du second ordre, avec des coefficients constants, est présenté.
Une équation différentielle linéaire homogène du second ordre avec des coefficients constants \( a \), \( b \), et \( c \) a la forme générale [1] , [2] , [3] :
\[
a \frac{d^2y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + c y = 0
\]
Pour résoudre cette équation différentielle en utilisant l'équation auxiliaire (ou équation caractéristique), nous trouvons d'abord les racines de l'équation auxiliaire, qui est obtenue en supposant une solution de la forme \( y(t) = e^{rt} \), d'où \( y'(t) = r e^{rt} \) et \( y''(t) = r^2 e^{rt} \).
Substituez \( y(t) \), \( y'(t)\), et \( y''(t) \) dans l'équation différentielle et factorisez comme suit :
\[
(a r^2 + b r + c) e^{rt} = 0
\]
Puisque \( e^{rt} \) ne peut pas être égal à zéro, nous aboutissons à l'équation auxiliaire correspondante à l'équation différentielle :
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
1. Écrivez l'équation auxiliaire :
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
La nature des racines de l'équation auxiliaire détermine le comportement des solutions :
Soit \( \Delta = b^2 - 4 \; a \; c \)
1 - Si \( \Delta > 0 \) , les racines
\( r_1 = \dfrac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a} \) et \( r_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a}\)
sont réelles et distinctes. La solution générale implique des fonctions exponentielles comme suit.
\[
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
\]
où \( C_1 \) et \( C_2 \) sont des constantes à déterminer en utilisant des conditions initiales.
2 - Si \( \Delta = 0 \) , les racines \( r_1 \) et \( r_2 \) sont réelles et égales à \( -\dfrac{b}{2 \; a} \). La solution générale implique une fonction linéaire en \( t \) multipliée par une fonction exponentielle.
\[
y(t) = ( C_1 + C_2 \; t ) e^{r_1 t}
\]
et \( C_1 \) et \( C_2 \) sont des constantes déterminées par des conditions initiales ou aux limites.
3 - Si \( \Delta \lt 0 \) , les racines \( r_1 \) et \( r_2 \) sont des conjugués complexes de la forme
\( r_1 = \dfrac{- b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a} \) et \( r_2 = \dfrac{- b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a }\)
La solution générale de l'équation différentielle implique des fonctions sinus et cosinus comme suit.
\[
y(t) = e^{\alpha \; t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta \; t) \right)
\]
où
\( \alpha = \dfrac{- b }{2 \;a} \) et \( \beta = \dfrac{ \sqrt{4 a c - b^2} }{2 \;a} \)
et \( C_1 \) et \( C_2 \) sont des constantes déterminées par des conditions initiales ou aux limites.
Entrez les coefficients \( a, b, c \) et les conditions initiales \( y(0) \) et \( y'(0) \) comme des nombres réels et appuyez sur "Résoudre".
Solution