Dérivées Partielles d'Ordre Supérieur
Table des Matières
Les calculs des dérivées partielles du premier, deuxième et d'ordre supérieur sont présentés avec des exemples et leurs solutions, y compris les étapes détaillées des calculs. Le théorème de Clairaut sur l'égalité des dérivées partielles croisées sous certaines conditions de continuité est vérifié à travers des exemples.
Les dérivées partielles d'ordre supérieur sont essentiellement les dérivées de fonctions de plusieurs variables prises plusieurs fois par rapport à une ou plusieurs variables.
Dérivées Partielles du Premier Ordre
Étant donné une fonction \(f(x, y)\), les dérivées partielles du premier ordre sont :
Par rapport à \(x\) : \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\)
Par rapport à \(y\) : \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)
Dérivées Partielles du Deuxième Ordre
Une fois que nous avons les dérivées du premier ordre, nous pouvons les dériver à nouveau pour obtenir des dérivées du deuxième ordre, qui sont :
Par rapport à \(x\) deux fois : \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)
Par rapport à \(y\) deux fois : \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
Par rapport à \(x\) puis \(y\) : \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
Par rapport à \(y\) puis \(x\) : \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)
Dérivées Partielles d'Ordre Supérieur
De la même manière, nous pouvons continuer à prendre des dérivées pour obtenir des dérivées partielles d'ordre supérieur. Par exemple, la dérivée partielle du troisième ordre de \(f\) par rapport à \(x\) deux fois puis \(y\) une fois serait notée \(\dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2}\).
Exemples avec Solutions
Exemple 1
Calculez les dérivées partielles du premier et du deuxième ordre de
\[f(x, y) = x^2y + 3xy^2\]
Solution à l'Exemple 1 avec Étapes Détaillées
1. Dérivées Partielles du Premier Ordre
a. Dériver \(f\) par rapport à \(x\) :
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2) \\\\ = 2xy + 3y^2 \]
b. Dériver \(f\) par rapport à \(y\) :
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2) \\\\ = x^2 + 6xy \]
2. Dérivées Partielles du Deuxième Ordre
a. Dériver \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) par rapport à \(x\) :
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x} \right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy + 3y^2) = 2y \]
b. Dériver \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) par rapport à \(y\) :
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 + 6xy) = 6x \]
c. Dériver \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) par rapport à \(y\) :
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\= \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy + 3y^2) = 2x + 6y \]
d. Dériver \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) par rapport à \(x\) (devrait donner le même résultat que l'étape 3 en raison de la symétrie, si les dérivées partielles croisées de la fonction sont continues) :
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ =\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 + 6xy) = 2x + 6y \]
Remarquez que \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), ce qui illustre
le théorème de Clairaut sur l'égalité des dérivées partielles croisées sous certaines conditions de continuité.
Exemple 2
Calculez les dérivées partielles du premier et du deuxième ordre de la fonction
\[g(x, y) = e^{xy} + \sin(x)y^2 \] .
Solution à l'Exemple 2 avec Étapes Détaillées
1. Dérivées Partielles du Premier Ordre
a. Dériver \(g\) par rapport à \(x\) :
\[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \\\\= ye^{xy} + \cos(x)y^2 \]
b. Dériver \(g\) par rapport à \(y\) :
\[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) + \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \\\\= xe^{xy} + 2y\sin(x) \]
2. Dérivées Partielles du Deuxième Ordre
a. Dériver \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\) par rapport à \(x\) :
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\=\dfrac{\partial}{\partial x}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= y^2e^{xy} - y^2\sin(x) \]
Cette étape implique d'appliquer la règle du produit pour la différentiation à chacun des termes séparément.
b. Dériver \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) par rapport à \(y\) :
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= x^2e^{xy} + 2\sin(x) \]
Encore une fois, la règle du produit est appliquée, cette fois-ci en se concentrant sur la manière dont le terme exponentiel et le terme sinus changent par rapport à \(y\).
c. Dériver \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\) par rapport à \(y\) :
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\dfrac{\partial g}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{xy} + \cos(x)y^2) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
d. Dériver \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\) par rapport à \(x\) (encore une fois, le résultat est le même que l'étape 3 en raison de la symétrie et de la continuité des dérivées partielles croisées) :
\[ \dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}\right) \\\\ =
\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^{xy} + 2y\sin(x)) \\\\= e^{xy} + xye^{xy} + 2y\cos(x) \]
L'égalité \(\dfrac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\) illustre
le théorème de Clairaut sur l'égalité des dérivées partielles croisées sous certaines conditions de continuité.
Exemple 3
Calculez les dérivées partielles du premier ordre, du deuxième ordre, et deux dérivées partielles du troisième ordre \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} \) et \( \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} \) de la fonction \( f \) définie par
\[ f(x, y) = x^3y^2 + x^2e^y \].
Solution à l'Exemple 3 avec Étapes Détaillées
1. Dérivées Partielles du Premier Ordre
a. Par rapport à \(x\) :
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2e^y) \\\\= 3x^2y^2 + 2xe^y \]
b. Par rapport à \(y\) :
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^3y^2) + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2e^y) \\\\= 2x^3y + x^2e^y \]
2. Dérivées Partielles du Deuxième Ordre
a. Par rapport à \(x\) deux fois :
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\= 6xy^2 + 2e^y \]
b. Par rapport à \(y\) deux fois :
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 2x^3 + x^2e^y \]
c. Par rapport à \(x\) puis \(y\) :
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + 2xe^y) \\\\ = 6x^2y + 2xe^y \]
d. Par rapport à \(y\) puis \(x\) :
\[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3y + x^2e^y) \\\\= 6x^2y + 2xe^y \]
Dans cet exemple, nous avons également l'égalité \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), ce qui illustre
le théorème de Clairaut sur l'égalité des dérivées partielles croisées sous certaines conditions de continuité.
3. Dérivées Partielles du Troisième Ordre
a. Par rapport à \(x\) deux fois, puis \(y\) :
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial y \partial x^2} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial y}(6xy^2 + 2e^y) = 12 x y + 2 e^y \]
b. Par rapport à \(x\), puis \(y\), puis \(x\) à nouveau :
\[ \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right) \\\\ = \dfrac{\partial}{\partial x}(6x^2y + 2xe^y) = 12xy + 2e^y \]
Théorème de Clairaut
Le théorème de Clairaut, également connu sous le nom d'égalité des dérivées partielles croisées, stipule que si une fonction \( f(x, y) \) a des dérivées partielles secondes continues dans une région ouverte contenant un point \( (a, b) \), alors l'ordre de différenciation des dérivées partielles croisées en ce point n'affecte pas le résultat. En d'autres termes :
\[
\dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}}
\]
Voici un simple exemple illustrant le théorème de Clairaut :
Considérons la fonction \( f(x, y) = x^2y + y^3 \).
Tout d'abord, trouvons les dérivées partielles croisées :
1. Trouver \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \) :
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2xy \]
2. Trouver \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \) :
\[ \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} = x^2 + 3y^2 \]
Maintenant, trouvons les dérivées partielles croisées :
1. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} \) :
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial y}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial x}} (x^2 + 3y^2) = 2x \]
2. \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \) :
\[ \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} \left( \dfrac{{\partial f}}{{\partial x}} \right) = \dfrac{{\partial}}{{\partial y}} (2xy) = 2x \]
Selon le théorème de Clairaut, puisque les deux dérivées partielles croisées sont continues et égales, nous avons \( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x \partial y}} = \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial y \partial x}} \).
Plus de Liens et de Références
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