Dérivées Partielles de Fonctions à Plusieurs Variables

Table des Matières

Exemples et exercices sur les calculs des dérivées partielles sont présentés.

Alors que les dérivées ordinaires concernent les fonctions d'une seule variable, les dérivées partielles sont un type de dérivée qui généralise le concept de dérivées ordinaires aux fonctions de plusieurs variables.

Formellement, la dérivée partielle d'une fonction \( f(x_1, x_2, ..., x_n) \) par rapport à l'une de ses variables, disons \( x_i \), est notée \( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \). Elle représente le taux de variation de la fonction \( f \) par rapport à la variable \( x_i \), en maintenant toutes les autres variables constantes.

Mathématiquement, la dérivée partielle de \( f \) par rapport à \( x_i \) est définie comme : \[ \dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_1, x_2, ..., x_i + h, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{h} \] En d'autres termes, cette définition indique que la dérivée partielle de \( f \) par rapport à \( x_i \) est la limite du quotient différentiel lorsque \( h \) tend vers zéro, où \( h \) représente un petit changement de la variable \( x_i \), tout en maintenant les autres variables constantes.

Les dérivées partielles nous permettent d'analyser comment une fonction varie par rapport à l'une de ses variables tout en maintenant les autres constantes.
Lors du calcul de la dérivée partielle d'une fonction \( f(x, y) \) par rapport à \( x \), notée \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \), nous considérons \( y \) comme une constante.
De même, lors du calcul de la dérivée partielle de \( f \) par rapport à \( y \), notée \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \), nous considérons \( x \) comme une constante. Nous ne considérons que la manière dont \( f \) varie par rapport aux variations de \( y \), tout en maintenant \( x \) constant.
C'est le concept fondamental derrière les dérivées partielles, qui nous permet d'analyser comment une fonction varie par rapport à une variable tout en maintenant les autres constantes.

Les dérivées partielles sont largement utilisées en calcul, équations différentielles, optimisation, et dans divers domaines des sciences et de l'ingénierie, y compris la physique, l'économie et l'ingénierie. Elles jouent un rôle crucial dans l'étude du calcul à plusieurs variables et l'analyse des systèmes avec plusieurs variables indépendantes. Une calculatrice de dérivées partielles est incluse et peut être utilisée pour vérifier les calculs.

Exemples avec Solutions

Exemple 1

Calculez les dérivées partielles de \( f \) par rapport à \( x \), notée \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \), et les dérivées partielles de \( f \) par rapport à \( y \), notée \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \), où \( f \) est donné par \[ f(x, y) = 3x^2 + 4xy - y^2 \].

Solution à l'Exemple 1

1. Dérivée de \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) par rapport à \( x \) :

Nous calculons la dérivée partielle de \( f \) par rapport à \( x \), notée \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \). \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 4xy - y^2) \] En utilisant la règle de la somme, nous écrivons : \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) \] REMARQUE que lors du calcul de la dérivée partielle d'une fonction \( f(x, y) \) par rapport à \( x \), nous considérons \( y \) comme une constante. En utilisant la règle de puissance pour la différenciation, nous avons : \[\dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) = 6x \] \[ \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) = 4y\] \[\dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) = 0\] Ainsi \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y - 0\] \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y \].

2. Dérivée de \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) par rapport à \( y \) :

Nous calculons maintenant la dérivée partielle de \( f \) par rapport à \( y \), notée \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \). \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 4xy - y^2) \] En utilisant la règle de la somme, nous écrivons : \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) \] REMARQUE que lors du calcul de la dérivée partielle d'une fonction \( f(x, y) \) par rapport à \( y \), nous considérons \( x \) comme une constante. En utilisant différentes règles de différenciation, nous avons : \[ \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) = 0 \] \[ \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) = 4x \] \[ \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y \] Ainsi, \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 + 4x - 2y \] \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 4x - 2y \].

Exemple 2

Calculez les dérivées partielles de \( g \) par rapport à \( x \), \( y \) et \( z \), où \( g \) est donné par \[ g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \].

Solution à l'Exemple 2

Pour calculer les dérivées partielles de \( g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \) par rapport à \( x \), \( y \) et \( z \), nous considérons chaque variable comme indépendante et nous différencions chaque terme de \( g \) par rapport à la variable respective tout en maintenant les autres variables constantes. Calculons chaque dérivée partielle étape par étape :

1. Dérivée partielle par rapport à \( x \) :

\[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) \] En utilisant la règle du produit pour la différenciation : \[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) \] Maintenant, nous calculons chaque terme séparément : \[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = y e^{xy} \] \[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) = 0 \] Ainsi, en rassemblant le tout : \[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z) \]

2. Dérivée partielle par rapport à \( y \) :

\[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) \] En utilisant la règle du produit pour la différenciation : \[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) \] Maintenant, nous calculons chaque terme séparément : \[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy} \] Étant donné que \( \cos(z) \) ne dépend pas de \( y \), sa dérivée par rapport à \( y \) est nulle : \[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) = 0 \] Ainsi, en rassemblant le tout : \[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z) \]

3. Dérivée partielle par rapport à \( z \) :

\[ \dfrac{\partial g}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) \] En utilisant la règle du produit pour la différenciation : \[ \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) \] Maintenant, nous calculons chaque terme séparément : a. Dérivée de \( e^{xy} \) par rapport à \( z \) : Étant donné que \( e^{xy} \) ne dépend pas de \( z \), sa dérivée par rapport à \( z \) est nulle : \[ \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) = 0 \] b. Dérivée de \( \cos(z) \) par rapport à \( z \) : \[ \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) = -\sin(z) \] Ainsi, en rassemblant le tout : \[ \dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z) \] Par conséquent, les dérivées partielles de \( g \) par rapport à \( x \), \( y \) et \( z \) sont : \[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z) \] \[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z) \] \[ \dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z) \]

Exercices avec Solutions

Trouvez les dérivées partielles des fonctions
  1. \( g(u,v) = u^2 \; v^2 + e^{u^2+v^2} \)
  2. \( f(x,y,z) = \sin (xy )\;\ln (xyz ) \)
  3. \( h(x,y,z) = \dfrac{z}{x \;y \;z +1} \)

Solutions aux Exercices Ci-dessus


  1. \( \dfrac{\partial g}{\partial u} = 2 \;u \;v^2 + 2u \; e^{u^2+v^2}\)
    \( \dfrac{\partial g}{\partial v} = 2 \;v \;u^2 + 2v \; e^{u^2+v^2}\)

  2. \( \dfrac{\partial f}{\partial x} = y \;\cos(xy)\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{x} \)
    \( \dfrac{\partial f}{\partial y} = x\;\cos (xy )\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{y} \)
    \( \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\sin (xy)}{z} \)

  3. \( \dfrac{\partial h}{\partial x} = -\dfrac{y z^2 }{\left(zxy+1\right)^2} \)
    \( \dfrac{\partial h}{\partial y} = -\dfrac{x z^2}{\left(zxy+1\right)^2} \)
    \( \dfrac{\partial h}{\partial z} = \dfrac{1}{\left(zxy+1\right)^2} \)

Plus de Liens et Références

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