Introduction aux Équations Différentielles
Table des Matières
Une équation différentielle est une équation impliquant une fonction inconnue et sa dérivée [1], [2], [3].
Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser des systèmes et d'autres comportements dans divers domaines de la science, de l'ingénierie et des mathématiques.
Ordre d'une Équation Différentielle
La plus haute dérivée incluse dans l'équation différentielle détermine l'ordre de l'équation.
Exemples
L'équation différentielle
\[ \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
est du premier ordre car la plus haute dérivée incluse est la première dérivée \( \dfrac{dy}{dx} \) de \( y \).
L'équation différentielle
\[ \dfrac{d^3y}{dx^3} - 5\dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} = 0 \]
est du troisième ordre car la plus haute dérivée incluse est la troisième dérivée \( \dfrac{d^3y}{dx^3} \) de \( y \).
L'équation différentielle
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \]
est du deuxième ordre car la plus haute dérivée incluse est la deuxième dérivée \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) de \( y \).
Linéarité d'une Équation Différentielle
Les équations différentielles peuvent être classées en fonction de leur linéarité.
Équations Différentielles Linéaires
Si la plus haute puissance de la fonction inconnue et de ses dérivées est égale à 1 et que la fonction et ses dérivées ne sont pas multipliées entre elles, alors l'équation différentielle est dite linéaire. La forme générale d'une équation différentielle linéaire peut être exprimée comme suit :
\[ a_n(x)\dfrac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1(x)\dfrac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x) \]
Ici, \( a_i(x) \) sont des fonctions de \( x \), \( y \) est la fonction inconnue, et \( g(x) \) est une fonction connue de \( x \).
Exemples
L'équation différentielle
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2y = 0 \]
est linéaire car la fonction inconnue \( y \) et sa seconde dérivée \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) ne sont pas élevées à une puissance supérieure à 1 et ne sont pas multipliées entre elles.
L'équation différentielle
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2 y = 0 \]
est linéaire car la fonction inconnue \( y \), sa seconde dérivée \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) et sa première dérivée \( \dfrac{dy}{dx} \) ne sont pas élevées à une puissance supérieure à 1 et ne sont pas multipliées entre elles.
Équations Différentielles Non Linéaires
Si la fonction inconnue ou au moins l'une de ses dérivées est élevée à une puissance supérieure à 1 ou est multipliée avec une autre, l'équation différentielle est dite non linéaire. Les équations différentielles impliquant des fonctions non linéaires telles que la racine carrée, le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques, ou d'autres fonctions non linéaires de la fonction inconnue ou de ses dérivées sont également non linéaires.
Les équations différentielles non linéaires peuvent avoir un comportement complexe et peuvent être difficiles à résoudre.
Exemples
L'équation différentielle
\[ \dfrac{dy}{dx} = y^2 + 3 \]
n'est pas linéaire car \( y \) apparaît élevé à la puissance 2.
L'équation différentielle
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = e^{y} \]
n'est pas linéaire car \( y \) apparaît dans les termes non linéaires \( e^{y} \).
L'équation différentielle
\[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \sin(y) \]
n'est pas linéaire car \( y \) apparaît dans une fonction trigonométrique \( \sin(y) \) qui est une fonction non linéaire.
Plus de Références et de Liens
1 - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
2 - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
3 - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
Calculateur d'Équations Différentielles du Second Ordre