Une calculatrice interactive utilisant la méthode de Newton [1] pour approximer les solutions d'un système de deux équations à deux variables est présentée. Elle approxime les solutions, s'il y en a, et fournit un tableau de toutes les valeurs des itérations à des fins pédagogiques.
Méthode de Newton pour les Systèmes d'Équations
La méthode de Newton est une méthode numérique utilisée pour trouver les racines d'une équation par itérations à partir d'une solution initiale approximative. Lorsqu'il s'agit d'un système d'équations, la méthode s'étend naturellement en considérant la matrice jacobienne et son déterminant.
Méthode de Newton à Une Variable
Supposons que nous devons résoudre l'équation suivante:
\[ f(x) = 0 \]
Le développement de Taylor de \( f(x+\Delta x) \) est donné par:
\[ f(x+\Delta x) \approx f(x) + \Delta x f'(x) \]
Nous résolvons maintenant \( f(x+\Delta x) = 0 \) ce qui donne:
\[ f(x) + \Delta x f'(x) = 0 \]
ce qui donne:
\[ \Delta x \approx - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
Supposons que nous connaissons une valeur approximative \( x_n \) de la racine de l'équation, la racine approximative \( x_{n+1} \) définie par
\[ \Delta x = x_{n+1} - x_n \]
est donnée par
\[ x_{n+1} \approx x_{n} - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
Système d'Équations et la Matrice Jacobienne
Considérons un système de deux équations à deux variables \( x \) et \( y \):
\[
\begin{align*}
f(x, y) &= 0 \\
g(x, y) &= 0
\end{align*}
\]
La matrice jacobienne \( J \) du système est donnée par:
\[
J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{bmatrix}
\]
Mise à Jour de la Méthode de Newton
Les formules de mise à jour pour la méthode de Newton pour un système d'équations sont données par:
\[
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
\Delta y &= \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
ainsi
\[
\begin{aligned}
x_{n+1} &\approx x_n + \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
y_{n+1} &\approx y_n + \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
Où \( f \) et \( g \) sont les fonctions évaluées aux valeurs actuelles \( (x_n, y_n) \).
\( f_x, f_y, g_x, g_y \) sont les dérivées partielles de \( f \) et \( g \) par rapport à \( x \) et \( y \), respectivement.
\(\text{D} = f_x \cdot g_y - f_y \cdot g_x\) est le déterminant de la matrice jacobienne.
Processus Itératif
La méthode de Newton met à jour itérativement les variables \( x \) et \( y \) en utilisant les formules ci-dessus jusqu'à ce qu'un critère d'arrêt soit atteint. Les critères d'arrêt courants incluent :
Tolérance de convergence : Arrêter lorsque la différence entre les itérations consécutives est inférieure à un certain seuil.
Nombre maximal d'itérations : Arrêter après un nombre maximal d'itérations.
1. Initialisation : Commencez avec des approximations initiales pour \( x \) et \( y \) :
Une façon d'obtenir des approximations initiales proches de la solution du système est de tracer les courbes de \( f(x,y) \) et \( g(x,y) \), d'approximer leurs points d'intersection et de les utiliser comme approximations initiales.
2. Évaluer les Fonctions et les Dérivées : Calculer \( f(x, y) \), \( g(x, y) \), et leurs dérivées partielles aux valeurs actuelles \( (x, y) \).
3. Calculer le Déterminant : Calculer le déterminant de la matrice jacobienne.
4. Mettre à Jour les Variables : Utiliser les formules de mise à jour de la méthode de Newton pour calculer \( \Delta x \) et \( \Delta y \).
5. Itérer : Mettre à jour \( x \) et \( y \) en utilisant \( \Delta x \) et \( \Delta y \), et répéter jusqu'à ce que la convergence ou le nombre maximal d'itérations soit atteint.
6. La tolérance \( \epsilon \) est utilisée pour tester la valeur absolue de \( f(x,y) \) et \( g(x,y) \) comme suit :
Lorsque \( |f(x,y)| \lt \epsilon \) et \( |g(x,y)| \lt \epsilon \), le processus d'itération s'arrête.
7. La calculatrice approxime une solution à la fois.
La méthode de Newton fournit un moyen robuste et efficace d'approcher les solutions d'un système d'équations à deux variables, à condition que les approximations initiales soient suffisamment proches des solutions réelles et que les fonctions soient différentiables dans le voisinage des solutions.
Calculatrice
Résultats
Tableau incluant les valeurs d'itération de \( x, y, f(x,y) \) et \( g(x,y) \).
Itération
\( x \)
\( y \)
\( f(x, y) \)
\( g(x, y) \)
Plus de Références et Liens
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
