Formule d'Euler

Dérivation de la Formule d'Euler

La dérivation de la formule d'Euler implique des concepts de calcul, de séries de puissance et de nombres complexes. Considérons les expansions en séries de puissance de la fonction exponentielle \( e^x \), de la fonction cosinus \( \cos(x) \), et de la fonction sinus \( \sin(x) \). Les expansions en séries de puissance pour ces fonctions sont : \[ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots \] \[ \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \] \[ \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots \] Maintenant, considérons ce qui se passe lorsque nous substituons \( ix \) dans les expansions en série de \( e^x \) : \[ e^{ix} = 1 + ix + \dfrac{(ix)^2}{2!} + \dfrac{(ix)^3}{3!} + \dfrac{(ix)^4}{4!} + \dfrac{(ix)^5}{5!} + \cdots \] \[ = 1 + ix - \dfrac{x^2}{2!} - i\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + i\dfrac{x^5}{5!} - \cdots \] Écrivons \( e^{ix} \) sous la forme standard d'un nombre complexe \( Re + i Im \) : \[ e^{ix} = \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) + i \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \] Remarquez que les termes de puissance paire \( \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) \) forment l'expansion en série de \( \cos(x) \), et les termes de puissance impaire \( \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \) forment l'expansion en série de \( \sin(x) \). Ainsi, en les combinant, nous pouvons écrire : \[ \Large \color{red} {e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)} \]

Identités et Formules Reliées à la Formule d'Euler

Identité d'Euler

Lorsque \( x = \pi \), la formule d'Euler devient : \[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \] Qui peut être écrite comme \[ \Large \color{red} { e^{i\pi} + 1 = 0} \] Remarquez que l'équation ci-dessus combine les cinq constantes les plus importantes en mathématiques : \( e \), \( \pi \), \( i \), \( 1 \), et \( 0 \).

Formule de De Moivre

L'extension de la formule d'Euler pour toute puissance entière \( n \) : \[ (e^{i x})^n = (\cos(x) + i\sin(x))^n \] En utilisant la règle exponentielle \[ (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos (n x) + i \sin (n x) \] D'où la formule de De Moivre \[ \Large \color{red} {(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos (n x) + i \sin (n x)} \] Cette formule est incroyablement utile pour calculer les puissances de nombres complexes.

Formule d'Euler pour \( \sin \) et \( \cos \)

Commençons par les expansions de \[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \] et \[ e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x) \] En ajoutant et en soustrayant les côtés gauche et droit, nous obtenons \[ e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \] et \[ e^{ix} - e^{-ix} = 2 i\sin(x) \] Résolvons pour \( \cos(x) \) et \( \sin(x) \) pour obtenir \[ \Large \color{red} { \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} } \] \[ \Large \color{red} { \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} } \] Ces identités relient les fonctions trigonométriques \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) à la fonction exponentielle \( e^{ix} \). Ces identités ont des applications dans divers domaines des mathématiques, de la physique et de l'ingénierie. Elles fournissent des aperçus profonds sur les connexions entre la croissance exponentielle, le mouvement périodique, et les nombres complexes.

Identités Trigonométriques et Formule d'Euler

Nous présentons un exemple de l'utilisation de la formule d'Euler pour prouver des identités trigonométriques.

Exemple

Prouver l'identité trigonométrique \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

Solution

Utilisez l'identité \( \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \) pour écrire \[ \sin(A+B) = \dfrac{e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)}}{2i} \quad (I)\] Utilisez la propriété exponentielle \( e^{x+y} = e^x e^y \) pour réécrire \( e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} \) comme suit \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = e^{iA} e^{iB} - e^{-iA} e^{-iB} \] Nous utilisons maintenant la formule d'Euler pour développer les termes du côté droit \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos (-A) + i \sin(- A))(\cos(- B) + i \sin (-B) )\] Utilisez les identités \( \cos (-A) = \cos A \) et \( \sin(-A) = - \sin A \) pour réécrire ce qui précède comme \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos A - i \sin A)(\cos B - i \sin B) \] Développez le côté droit et simplifiez \[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = 2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B \] Substituez dans (I) ci-dessus pour obtenir \[ \sin(A+B) = \dfrac{2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B}{2i} \] Simplifiez pour obtenir la formule trigonométrique très connue : \[ \Large \color{red} { \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B } \]