Table des Matières

Calculs d'Intégrales Doubles

Des exemples pour calculer et évaluer les intégrales doubles sont présentés avec leurs solutions détaillées. Les intégrales doubles sur des régions générales et les intégrales doubles en coordonnées polaires sont également incluses. \( \)\( \)\( \)

Révision des Intégrales Simples et Doubles

Les intégrales simples sont utilisées pour trouver la aire sous la courbe d'une fonction donnée \( f(x) \) comme le montre le graphique ci-dessous.
L'aire sous la courbe de \( x = a \) à \( x = b \) est donnée par : \( \displaystyle \int_a^b f(x) \; dx \)
Aire sous la courbe
Pour des formes en 3D, nous sommes intéressés à calculer le volume sous la surface définie par une fonction en deux variables \( f(x,y\) et dont la base est \( R \) (en vert) comme montré dans le graphique a) ci-dessous.
volume of 3D shape
Dans le graphique ci-dessus, la base \( R \) de la forme en 3D est un rectangle défini par \( 0 \le x \le a \) et \( 0 \le y \le b \) ; mais en général \( R \) peut avoir n'importe quelle forme 2D comme nous le verrons dans d'autres exemples.
Il y a deux façons de calculer le volume de la forme en 3D.
1)
diviser la forme en 3D en un nombre infini d'aires transversales \( A_1(x) \) perpendiculaires à l'axe \( x \) à des valeurs fixes de \( x \) , comme montré dans le graphique b), puis utiliser le concept d'une intégrale simple qui est essentiellement une somme continue pour trouver le volume \( V \) comme
\( \displaystyle V = \int_0^a A_1(x) \; dx \)
L'aire transversale \( A_1(x) \) est parallèle au plan z-y et peut être trouvée par intégration de \( f(x,y) \) sur \( y \) comme vous utiliseriez une intégrale simple pour trouver l'aire sous une courbe, comme suit
\( \displaystyle A_1(x) = \int_0^b f(x,y) \; dy \)
Nous substituons maintenant \( A_1(x) \) dans \( V \) pour obtenir
\( \displaystyle V = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \)

2)
diviser la forme en 3D en un nombre infini d'aires transversales \( A_2(y) \) perpendiculaires à l'axe \( y \) à des valeurs fixes de \( y \) , comme montré dans le graphique c), puis utiliser le concept d'une intégrale simple qui est essentiellement une somme continue pour trouver le volume \( V \) comme
\( V = \displaystyle \int_0^b A_2(y) \; dy \)
L'aire transversale \( A_2(y) \) est parallèle au plan z-x et peut être trouvée par intégration de \( f(x,y) \) sur \( x \) comme vous utiliseriez une intégrale simple pour trouver l'aire sous une courbe, comme suit
\( \displaystyle A_2(y) = \int_0^a f(x,y) \; dx \)
Nous substituons maintenant \( A_2(x) \) dans \( V \) pour obtenir
\( \displaystyle V = \int_0^b \int_0^a f(x,y)\; dx \; dy \)
Ce qui précède est résumé comme Le Théorème de Fubini
\[ \iint_R f(x,y) \,dx\,dy = \int_0^b \int_0^a f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \] La région R est un rectangle défini par : \( 0 \le x \le a \) et \( 0 \le y \le b \)
Les intégrales ci-dessus sont appelées intégrales itérées.
Toutes les formules et règles pour les intégrales peuvent être utilisées pour calculer ces intégrales.


Calculs d'Intégrales Simples avec l'Intégrande Ayant Plus d'une Variable

Avant de commencer les exemples pour calculer les intégrales doubles, voyons d'abord comment évaluer les intégrales lorsque l'intégrande a plus d'une variable car c'est la compétence de base nécessaire pour évaluer les intégrales doubles et triples..
Exemple 1
Évaluez les intégrales
a) \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \) , b) \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \) , c) \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx \) , d) \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \)
Solution à l'Exemple 1
a)
Pour calculer \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \), nous considérons \( y \) comme une constante puisque l'intégration se fait par rapport à \( x \).
Notez que \( \displaystyle \int (x^2) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3\) et \( \displaystyle \int ( y^2) \; dx = y^2 x\) puisque \( y \) et donc \( y^2 \) sont considérés comme constants. Donc
\( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx = \left[ \dfrac{1}{3}x^3 + y^2 x \right]_0^3 \)
Substituez pour évaluer l'intégrale
\( = (\dfrac{1}{3}(3)^3 + y^2 (3)) - (\dfrac{1}{3}(0)^3 + y^2 (0)) \)
Simplifier
\( = 3 y^2 + 9 \)
b)
Pour calculer \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \), nous considérons \( x \) comme une constante puisque l'intégration se fait par rapport à \( y \).
Notez que \( \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \; dy = \dfrac{1}{x} y \) puisque \( x \) et donc \( 1/x \) sont considérés comme constants et \( \displaystyle \int \dfrac{1}{y} \; dy = \ln |y|\). Donc
\( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy = \left[ \dfrac{1}{x} y + \ln |y| \right]_3^5 \)
Substituez pour évaluer l'intégrale
\( = ( \dfrac{1}{x} (5) + \ln|5|) - ( \dfrac{1}{x} (3) + \ln|3| ) \)
Simplifier
\( = \dfrac{2}{x} + \ln(5/3) \)
c)
Pour calculer \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx\), nous considérons \( y \) comme une constante puisque l'intégration se fait par rapport à \( x \).
Notez que \( \displaystyle \int x y \; dx = \dfrac{1}{2} x^2 y \) et \( \displaystyle \int y \; dx = y x \) puisque \( y \) est considéré comme une constante. Donc
\( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y ) \; dx = \left[ \dfrac{1}{2} x^2 y + y x \right]_{y+1}^{y^2} \)
Substituez pour évaluer l'intégrale en notant que les limites d'intégration sont des fonctions de \( y \)
\( = ( \dfrac{1}{2} (y^2)^2 y + y (y^2) ) - ( \dfrac{1}{2} (y+1)^2 y + y (y+1) ) \)
Simplifier
\( = \dfrac{y^5+y^3-4y^2-3y}{2} \)
d)
Pour calculer \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \), nous considérons \( x \) comme une constante puisque l'intégration se fait par rapport à \( y \).
Notez que \( \displaystyle \int \sin( x y) \; dy = - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \) puisque \( x \) est considéré comme une constante. Donc
\( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy = \left[ - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \right]_0^{x-1} \)
Substituez pour évaluer l'intégrale en notant que les limites d'intégration sont des fonctions de \( x \)
\( = ( - \dfrac{1}{x} \cos(x(x-1)) ) - ( - \dfrac{1}{x} \cos(x(0)) ) \)
Simplifier
\( = - \dfrac{1}{x} \cos(x^2 - x) + 1/x\)


Calcul des Intégrales Doubles

L'idée principale pour calculer les intégrales doubles est de diviser l'intégrale double en deux intégrales simples. Il existe deux façons d'évaluer les intégrales doubles :
1) Évaluez d'abord l'intégrale en \( x \) :
\( \displaystyle \int_0^b \int_0^a f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^b \left(\int_0^a f(x,y) \;dx\right) \;dy \)
2) Évaluez d'abord l'intégrale en \( y \) :
\( \displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^a \left(\int_0^b f(x,y) \;dy\right) \;dx \)
Remarque Une façon d'évaluer une intégrale double est d'évaluer les intégrales intérieures et extérieures séparément.

Exemple 2
Utilisez les deux méthodes ci-dessus pour évaluer l'intégrale double \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \;dx \;dy \)
Solution de l'Exemple 2
1) Nous calculons d'abord l'intégrale en \( x \) puis l'intégrale en \( y \).
\( \displaystyle V = \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \; dx \; dy = \int_1^3 \left(\int_0^4 (x^2-y+2) \;dx\right) \;dy \)
Évaluons d'abord l'intégrale intérieure \( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx \) en supposant que \( y \) est constant de manière similaire à lorsque vous calculez des dérivées partielles.
\( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - y x + 2 x \right]_{x = 0}^{x=4} \)
Évaluons cela
\( I = \displaystyle (\dfrac{1}{3} 4^3 - 4y + 2\cdot4) - (\dfrac{1}{3} 0^3 - y (0) + 2 (0)) \)
Simplifions
\( I = \left[ -4y+\dfrac{88}{3} \right] \)
Substituons \( I \) dans \( V \) et calculons l'intégrale extérieure
\( \displaystyle V = \int_1^3 \left( -4y +\dfrac{88}{3} \right) \;dy \)
Évaluons l'intégrale ci-dessus
\( \displaystyle V = \left[ -2 y^2 + \dfrac{88}{3} y \right]_{y= 1}^{y=3} \)
\( \displaystyle V = (-2 (3)^2 + \dfrac{88}{3} (3)) - (-2 (1)^2 + \dfrac{88}{3} (1)) \)
\( \displaystyle V = \dfrac{128}{3} \)

2) Nous calculons d'abord l'intégrale en \( y \) puis l'intégrale en \( x \).

\( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_0^4 \left(\int_1^3 (x^2-y+2) dy\right) \; dx \)
Évaluons l'intégrale intérieure \( I = \displaystyle \int_1^3 (x^2-y+2) dy \) en supposant que \( x \) est constant
\( I = \left[ x^2 y - \dfrac{1}{2} y^2 x + 2 x y \right]_{y = 1}^{y=3} \)
\( = \displaystyle \left( ( x^2 (3) - \dfrac{1}{2} (3)^2 x + 2 x (3) ) - (x^2 (1) - \dfrac{1}{2} (1)^2 x + 2 x (1)) \right) \)
Simplifions
\( I = 2x^2 \)
Substituons \( I \) dans \( V \)
\( \displaystyle V = \int_0^4 2x^2 dx \)
Évaluons l'intégrale ci-dessus
\(V = \displaystyle \left[ \dfrac{2}{3} x^3 \right]_{x=0}^{x=4} \)
\( V = \dfrac{128}{3} \)
Remarques
1) les deux façons de diviser l'intégrale donnent la même réponse.
2) Bien que nous calculions une intégrale double, nous traitions en fait avec des intégrales simples et bien sûr toutes les formules et propriétés des intégrales peuvent être utilisées.


Plus d'Exemples avec Solutions

Exemple 3
Évaluez l'intégrale double \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \; dy \)
Solution de l'Exemple 3
Commencez par l'intégrale intérieure
Soit \( \displaystyle I = \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \)
Évaluez \( I \)
\( \displaystyle I = \left[ \dfrac{2}{3} (2+x+y)^{3/2} \right]_0^4 \)
Évaluez cela
\( \displaystyle I = \left( \dfrac{2}{3} (2+4+y)^{3/2} - \dfrac{2}{3} (2+0+y)^{3/2} \right) \)
Simplifiez
\( \displaystyle I = \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \)
Substituez l'intégrale intérieure \( I \) dans \( V \)
\( \displaystyle V = \int_1^3 \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \; dy \)
Calculez les intégrales ci-dessus
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+y)^{5/2} - (2+y)^{5/2} \right]_1^3 \)
Évaluez en utilisant les limites d'intégration
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+3)^{5/2} - (2+3)^{5/2} \right] - \dfrac{4}{15} \left[ (6+1)^{5/2} - (2+1)^{5/2} \right] \)
\( \displaystyle \approx 19.48 \)


Exemple 4 Les limites d'intégration peuvent avoir des variables
Évaluez l'intégrale double \( \displaystyle V = \int _{1\:}^2\:\int _{y-1}^{y}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \; dy \)
Solution de l'Exemple 4
Soit l'intégrale intérieure \( \displaystyle I = \int _y^{y+1}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \)
Calculez l'intégrale ci-dessus
\( I = \left[ \dfrac{x^2}{2}+ \dfrac {x}{y} \right]_{y-1}^{y} \)
Évaluez \( I \) en utilisant les limites d'intégration
\( I = \left( \dfrac{(y)^2}{2}+ \dfrac {y}{y} \right) - \left( \dfrac{(y-1)^2}{2}+ \dfrac {y-1}{y} \right) \)
Simplifiez
\( I = y - 1/2 + \dfrac{1}{y} \)
Substituez \( I \) dans \( V \) et calculez l'intégrale extérieure
\( \displaystyle V = \int _{1\:}^2 ( y - 1/2 + \dfrac{1}{y} ) \; dy \)
Calculez l'intégrale ci-dessus
\( \displaystyle V = \left [\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{y}{2} + \ln |y| \right]_1^2 \)
\( \displaystyle V = (\dfrac{(2)^2}{2} - \dfrac{(2)}{2} + \ln |(2)|) - (\dfrac{(1)^2}{2} - \dfrac{(1)}{2} + \ln |(1)|) \)
Simplifiez
\( V = \ln 2 + 1 \)


Exemple 5
Évaluez l'intégrale double \( \displaystyle V = \int _0^{\pi}\:\int _0^1\left(x \sin(x^2)+y\:\right)dy\:dx \)
Solution de l'Exemple 5
Soit l'intégrale intérieure \( \displaystyle I = \int _0^1\left(x\sin\left(x^2\right)+y\:\right)dy \)
Calculez l'intégrale ci-dessus
\( I = \left[ x\sin(x^2) y + \dfrac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
Évaluez \( I \) en utilisant les limites d'intégration
\( I = x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} \)
Substituez \( I \) dans \( V \) et calculez l'intégrale extérieure
\( \displaystyle V = \int _{0\:}^{\pi} ( x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} ) \; dx \)
Calculez l'intégrale ci-dessus
\( \displaystyle V = \left [ -\dfrac{1}{2} \cos (x^2) + \dfrac{1}{2} x\right]_0^{\pi} \)
Simplifiez
\( \displaystyle V = \dfrac{-\cos(\pi^2)+\pi+1}{2} \)


Exemple 6
Trouvez la constante \( k \) de telle sorte que \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx = 5 \)
Solution de l'Exemple 6
Soit \( \displaystyle V = \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx \)
Soit l'intégrale intérieure \( \int _0^3 k x^2 (y+1) dy \)
Calculez \( I \)
\( I = \left [k x^2 (\dfrac{y^2}{2 }+y) \right]_0^3 = k \dfrac{15}{2} x^2 \)
Substituez \( I \) dans \( V \)
\( \displaystyle V = \int _0^1 k \dfrac{15}{2} x^2 dx \)
Évaluez \( V \)
\( V = \left [ \dfrac{5 k}{2} x^3 \right]_0^1 = \dfrac{5 k}{2} \)
Nous résolvons maintenant pour \( k \) l'équation
\( k = 2 \)


Exemple 7
Trouvez la constante \( b \) de telle sorte que \( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx = 10 \) et \( b \gt 0\)
Solution de l'Exemple 7
Soit \( \displaystyle V = \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx \)
Soit \( I \) l'intégrale intérieure
\( I = \displaystyle \int _0^b (2x+y )dy \)
Calculez \( I \)
\( \displaystyle I = \left[\dfrac{y^2}{2}+2xy\right]_0^b = \dfrac{b^2}{2}+2bx \)
Substituez \( I \) dans \( V \) et évaluez \( V \)
\( \displaystyle V = \int _1^2\ \left(\dfrac{b^2}{2}+2bx \right) dx \)
\( = \left[ \dfrac{b^2}{2}x+bx^2 \right]_1^2 \)
\( = \dfrac{b^2}{2}+3b \)
Afin de trouver \( b \), nous devons résoudre l'équation
\( \dfrac{b^2}{2}+3b = 10 \)
Résoudre l'équation ci-dessus
et sélectionner la solution positive donnée par
\( b = -3+\sqrt{29} \)


Plus de Questions avec Réponses

Partie 1: Calculez les intégrales
  1. \( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^4\left( x^2+y^2 \right)dy\:dx \)
  2. \( \displaystyle \int _2^4\:\int _1^4\left(\:\:x^2\:\:+\dfrac{1}{y^{\:}}\right)dy\:dx \)
  3. \( \displaystyle \int _2^3\:\int _1^5\:\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)dx \: dy \)
  4. \( \displaystyle \int _0^{\frac{\pi }{2}}\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(\sin\left(x+y\right)\right)dy\:dx \)
Partie 2: Trouvez \( b \) différent de \( -1 \) ou \( -2 \) de sorte que \( \displaystyle \int _{-1}^b\:\int _{-2}^b\left(\:\:x\:y\:e^{x^2+y^2}\:\:\right)dy\:dx = 0 \)


Réponses aux Questions ci-dessus

Partie 1:
  1. \( \dfrac{92}{3} \)
  2. \( 4\ln (2) +56 \)
  3. \( \dfrac{5}{2} \ln (5)+12 \ln (3/2) \)
  4. \( 2 \)
Partie 2: \( \displaystyle \int _{-1}^b\:\int _{-2}^b\left(\:\:x\:y\:e^{x^2+y^2}\:\:\right)dy\:dx = \dfrac{1}{4}\left(e^{b^2}-e^4\right)\left(e^{b^2}-e\right) \)
Résolvez l'équation: \( \dfrac{1}{4}\left(e^{b^2}-e^4\right)\left(e^{b^2}-e \right) = 0 \)
ce qui donne deux solutions: \( b = 1\) et \( b = 2 \)



Plus de Références et Liens

aire sous la courbe
Évaluer les intégrales
Formules et règles pour les intégrales en calcul
Le théorème de Fubini
Gilbert Strang; MIT, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, 1991
Joel Hass, University of California, Davis; Maurice D. Weir Naval Postgraduate School; George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology ; University Calculus , Early Transcendentals, Third Edition , Boston Columbus , 2016, Pearson.
Mathématiques pour Ingénieurs avec Exemples et Solutions