L'évaluation de l'intégrale gaussienne \( \displaystyle I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) en utilisant les intégrales doubles et les coordonnées polaires est présentée.
L'intégrale gaussienne est définie comme suit
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \]
et nous devons évaluer \( I \).
Nous notons d'abord que les intégrales \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) et \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \) ont des valeurs égales. Nous pouvons donc écrire que
\( I^2 = \displaystyle \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right) \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \right) \)
Ce qui peut être écrit comme une intégrale double comme suit
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy \)
Soit \( x = r \cos \theta \) , \( y = r \sin \theta \) , \( r^2 = x^2 + y^2 \) les relations entre les coordonnées rectangulaires et polaires, et utilisons le changement d'intégrale des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires (I) donné ci-dessus.
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr \;d\theta \)
Notez que \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr = -(1/2) e^{-r^2} \), ce qui donne
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left[-(1/2) e^{-r^2}\right]_0^{\infty} \;d\theta \)
qui peut être écrit comme
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} (-1/2) \left[e^{-\infty}-e^0 \right] \;d\theta \)
Notez qu'en utilisant les limites, \( e^{-\infty} = \lim_{a\to\infty} e^{-a} = 0 \), nous évaluons maintenant
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2} \;d\theta \)
Évaluez l'intégrale ci-dessus
\( I^2 = \dfrac{1}{2} \left[\theta\right]_0^{2\pi} \)
\( = \dfrac{1}{2} \left[2\pi - 0 \right] \)
\( = \pi \)
Jusqu'à présent, nous avons calculé \( I^2 = \pi \) et donc en prenant la racine carrée, nous avons
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]