Formules et règles des vecteurs

Produit scalaire

\( \vec a \) et \( \vec b \) sont des vecteurs donnés par leurs composantes comme suit
\( \vec a = \lt a_1, a_2 , a_3 \gt \) et \( \vec b = \lt b_1, b_2 , b_3 \gt \)
Le produit scalaire des vecteurs \( \vec a \) et \( \vec b \) est défini par
\( \vec a \cdot \vec b = || \vec a || \; || \vec b || \cos \theta = \sum_{i=1}^{3} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)
où \( \theta \) est l'angle entre les vecteurs \( \vec a \) et \( \vec b \) et \( || \vec a || \) et \( || \vec b || \) sont leurs magnitudes.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel des vecteurs \( \vec a \) et \( \vec b \) est défini par
\( \vec a \times \vec b = || \vec a || \; || \vec b || \sin \theta \; \vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} \)

\( \quad \quad = \vec i \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} - \vec j \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \\ \end{vmatrix} + \vec k \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{vmatrix} \)

\( \quad \quad = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec i - (a_1 b_3 - a_3 b_1) \vec j + (a_1b_2 - a_2 b_1) \vec k \)
\( \vec n \) est un vecteur unitaire perpendiculaire aux vecteurs \( \vec a \) et \( \vec b \), de telle sorte que \( \vec a \), \( \vec b \) et \( \vec n \) forment un ensemble de vecteurs à droite.

Produit Mixte de Trois Vecteurs

Le produit scalaire triple de \( \vec a \), \( \vec b \) et \( \vec c \) est donné par
\( (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \)
\( \quad \quad = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} \)

\( = a_1 \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix} \)
\( = a_1( b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_2 (b_1 c_3 -b_3 c_1) + a_3 (b_1 c_2 - b_2 c_1) \)

Double Produit Vectoriel de Trois Vecteurs

\( \vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c) \vec b - (\vec a \cdot \vec b) \vec c \)

Plus de Références et Liens

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