Formules pour les méthodes numériques

Dans ce qui suit, \( f_m = f(x_m) \) et \( y_m = y(x_m) \).
Exemples
\( f_0 = f(x_0) \) , \( f_1 = f(x_1) \) , \( f_2 = f(x_2) \) ...
\( y_0 = y(x_0) \) , \( y_1 = y(x_1) \) , \( y_2 = y(x_2) \) ...
numerical integration of functions

Règle du trapèze d'intégration

\( \displaystyle \int_{x_0}^{x_m} f(x) dx = h \left( \dfrac{f_0}{2} + f_1 + f_2 + f_3 + ... + f_{m-1}+\dfrac{f_m}{2}\right) \)
\( h = \dfrac{x_m - x_0}{m} \)

Règle de Simpson pour l'intégration

Le nombre d'intervalles doit être pair et est pris comme \( 2 m\)
\( \displaystyle \int_{x_0}^{x_{2m}} f(x) dx = \dfrac{h}{3} \left[ f_0 + 4( f_1 + f_3 + f_5 + ...) + 2 ( f_2 + f_4 +f_6 + .... )+ f_{2m} \right] \)
\( h = \dfrac{x_{2m} - x_0}{2 m} \)

Méthode d'Euler pour les équations différentielles

\( y' = f(x,y) \)
\( y_{n+1} = y_n + h f(x_n , y_n) + O(h^3)\)

Méthode de Runge-Kutta d'ordre deux pour les équations différentielles

\( y' = f(x,y) \)
\( y_{n+1} = y_n + \dfrac{1}{2} (k_1 + k_2) + O(h^3) \)
où
\( k_1 = h f(x_n , y_n) \)
\( k_2 = h f(x_n+h , y_n+k_1) \)

Méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre pour les équations différentielles

\( y' = f(x,y) \)
\( y_{n+1} = y_n + \dfrac{1}{6} (k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4) + O(h^5) \)
où
\( k_1 = h f(x_n , y_n) \)
\( k_2 = h f(x_n+\dfrac{h}{2} , y_n + \dfrac{k_1}{2} ) \)
\( k_3 = h f(x_n+\dfrac{h}{2} , y_n + \dfrac{k_2}{2} ) \)
\( k_4 = h f(x_n+ h , y_n + k_3) \)

Méthode de Runge-Kutta d'ordre deux pour les systèmes d'équations différentielles

\( y' = f(x,y,z) \) , \( z' = g(x,y,z) \)
\( y_{n+1} = y_n + \dfrac{1}{2} (k_1 + k_2) + O(h^3) \)
\( z_{n+1} = z_n + \dfrac{1}{2} (l_1 + l_2) + O(h^3) \)
où
\( k_1 = h f(x_n , y_n , z_n) \) , \( l_1 = h g(x_n , y_n , z_n) \)
\( k_2 = h f(x_n+h , y_n + k_1 , z_n + l_1) \) , \( l_2 = h g(x_n+h , y_n + k_1 , z_n + l_1) \)

Méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre pour les systèmes d'équations différentielles

\( y' = f(x,y,z) \) , \( z' = g(x,y,z) \)
\( y_{n+1} = y_n + \dfrac{1}{6} (k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_ 4) + O(h^5) \)
\( z_{n+1} = z_n + \dfrac{1}{6} (l_1 + 2 l_2 + 2 l_3 + l_4) + O(h^5) \)
où
\( k_1 = h f(x_n , y_n , z_n) \) , \( l_1 = h g(x_n , y_n , z_n) \)
\( k_2 = h f(x_n+\dfrac{h}{2} , y_n + \dfrac{k_1}{2} , z_n + \dfrac{l_1}{2}) \) , \( l_2 = h g(x_n+\dfrac{h}{2} , y_n + \dfrac{k_1}{2} , z_n + \dfrac{l_1}{2} ) \)
\( k_3 = h f(x_n+\dfrac{h}{2} , y_n + \dfrac{k_2}{2} , z_n + \dfrac{l_2}{2} ) \) , \( l_3 = h g(x_n+\dfrac{h}{2} , y_n + \dfrac{k_2}{2} , z_n + \dfrac{l_2}{2}) \)
\( k_4 = h f(x_n + h , y_n + k_3 , z_n + l_3) \) , \( l_4 = h g(x_n + h , y_n + k_3 , z_n + l_3) \)

Note : La méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre pour les systèmes d'équations différentielles est plus stable. Je l'ai utilisée dans mon travail de doctorat sur "Effets du champ évanescent sur la propagation des impulsions dans des guides d'ondes transversalement inhomogènes" , page 43, et elle a donné d'excellents résultats.

Plus de Références et Liens

Manuel de fonctions mathématiques
George F. Simmons, P.; Steven G. Krantz; (2007). Équations différentielles, théorie, techniques et pratiques.
Effets du champ évanescent sur la propagation des impulsions dans des guides d'ondes transversalement inhomogènes. Thèse de doctorat - Université de Nottingham - Royaume-Uni - 1984 - par Abdelkader Dendane
Fox, L.; Solutions numériques des équations différentielles ordinaires et partielles, Oxford, Pergamon (1962)
Daniel, J. W. ; Moore, R. E. ; Calcul et Théorie des équations différentielles ordinaires, H. W. Freeman and Co. (1970)
Williams, P. W. ; Calcul numérique, Thomas Nelson and Sons (1972) Mathématiques pour l'Ingénierie avec Exemples et Solutions