Formules mathématiques et identités

Identités trigonométriques , Séries , Dérivées , Intégrales indéfinies , Analyse de Fourier (Séries et Transformées) , Transformée de Laplace , Déterminants de matrices , Vecteurs , Calcul vectoriel , Méthodes numériques , \( \)\( \)\( \)

Identités trigonométriques

Fonctions trigonométriques des sommes/différences d'angles

\( \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \cos B \)
\( \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \)
\( \tan(A \pm B) = \dfrac{\tan A \pm tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \)

Sommes de fonctions trigonométriques en produits de fonctions trigonométriques

\( \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \dfrac {A+B}{2} \right) \cos \left( \dfrac {A-B}{2} \right) \)
\( \sin A - \sin B = 2 \sin \left( \dfrac {A - B}{2} \right) \cos \left( \dfrac {A + B}{2} \right) \)
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \dfrac {A+B}{2} \right) \cos \left( \dfrac {A-B}{2} \right) \)
\( \cos A - \cos B = - 2 \sin \left( \dfrac {A+B}{2} \right) \sin \left( \dfrac {A-B}{2} \right) \)

Produit de fonctions trigonométriques en somme de fonctions trigonométriques

\( \sin A \cos B = \dfrac{1}{2} \; [ \sin(A+B) + \sin(A-B) ] \)
\( \cos A \cos B = \dfrac{1}{2} \; [ \cos(A+B) + \cos(A-B) ] \)
\( \sin A \sin B = - \dfrac{1}{2} \; [ \cos(A+B) - \cos(A-B) ] \)

Fonctions trigonométriques d'angles multiples

\( \sin (2 A) = 2 \sin A \cos A \)
\( \cos (2 A) = 1 - 2 \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 \)
\( \sin (3 A) = 3 \sin A - 4 \sin^3 A\)
\( \cos (3 A) = 4\cos^3 A - 3 \cos A \)

Identités de réduction de puissance

\( \sin^2 A = \dfrac{1}{2} [1 - \cos (2A)] \)
\( \cos^2 A = \dfrac{1}{2} [1 + \cos (2A)] \)

Formule de demi-angle

\( \sin (A/2) = \pm \sqrt {\dfrac{1- \cos A}{2}} \)
\( \cos (A/2) = \pm \sqrt {\dfrac{1 + \cos A}{2}} \)
\( \tan (A/2) = \dfrac{1 - \cos A}{\sin A} = \dfrac{\sin A}{1+\cos A} \)

Series

Séries arithmétiques

\[ S_n = a_1 + a_2 +...+ a_n \]
\[ \quad \quad = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + a + (n-1)d \]
\( d \) est la différence commune
\[ a_1 = a \], premier terme de la série
\[ a_n = a + (n - 1)d \], n-ième terme de la série
\[ S_n = \dfrac{n}{2} (\text{premier terme} + \text{dernier terme}) \]
\[ \quad \quad = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
\[ \quad \quad = \dfrac{n}{2}[ 2 a + (n-1)d ] \]

Séries géométriques

\[ S_n = a_1 + a_2 +...+ a_n \]
\[ \quad \quad = a + a \cdot r + a \cdot r^2 + ... + a \cdot r^{n-1} \]
\( r \) est le rapport commun
\[ a_1 = a \], premier terme de la série
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \], n-ième terme de la série
\[ S_n = a_1\dfrac{1 - r^n}{1 - r} \]
\[ \quad \quad = a \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \]
Pour une série géométrique infinie et pour \( |r| \lt 1 \)
\[ S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1 - r} = \dfrac{a}{1 - r} \]

Séries d'entiers

\( \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3...+n = \dfrac{1}{2} n(n+1)\)
\( \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2...+n^2 = \dfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1)\)
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3...+n^3 = [ \dfrac{1}{2} n(n+1) ] ^2\)

Formule du binôme de Newton

\( \displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k\)
\( \displaystyle \quad \quad = {n \choose 0} x^{n} + {n \choose 1} x^{n-1} y^1 + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + ... + {n \choose n} y^{n} \)
où le coefficient \( {n \choose k} \) représente le nombre de combinaisons (distinctes) de \( k \) objets qui peuvent être formées à partir d'un échantillon de \( n \) objets et est donné par
\( \displaystyle {n \choose k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \)

Série de Taylor

Le développement en série de Taylor d'une fonction pour des valeurs proches de \( x = a \) est donné par
\( f(x) = f(a) + (x-a) f'(a) + \dfrac{(x-a)^2}{2!} f"(a) + \dfrac{(x-a)^3}{3!} f^{(3)}(a) + ... + \dfrac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a)+...\)

Série de Maclaurin

Un développement en série de Taylor d'une fonction \( f \) pour des valeurs proches de \( x = 0 \) est appelé série de Maclaurin de la fonction \( f \) et est obtenu en fixant \( a = 0 \) dans la série de Taylor, ce qui donne
\( f(x) = f(0) + x f'(0) + \dfrac{x^2}{2!} f"(0) + \dfrac{x^3}{3!} f^{(3)}(0) + ... + \dfrac{x^n}{n!} f^{(n)}(0)+...\)

Série de Maclaurin de Fonctions Courantes

\( e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + ... + \dfrac{x^n}{n!} + ... \) all \( x \)
\( \ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - ... + (-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} + ... \) \(| x| \le 1 ; x \ne -1 \)
\( \sin x = \dfrac{e^{jx} - e^{-jx}}{2j} = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!}... \) all \( x \)
\( \cos x = \dfrac{e^{jx} + e^{-jx}}{2} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!}... \) all \( x \)
\( \tan x = x + \dfrac{1}{3} x^3 + \dfrac{2}{15} x^5 + \dfrac{17}{315}x^7... \) \( |x| \lt \pi/2 \)
\( \sinh x = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2} = x + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} + \dfrac{x^7}{7!}... \) all \( x \)
\( \cosh x = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2} = 1 + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^6}{6!}... \) all \( x \)
\( \tanh x = x - \dfrac{1}{3} x^3 + \dfrac{2}{15} x^5 - \dfrac{17}{315}x^7... \) \( |x| \lt \pi/2 \)
\( \sin^{-1} x = \arcsin x = x + \dfrac{1 \cdot x^3}{2\cdot3} + \dfrac{1 \cdot 3 x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5} + \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 x^7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} ... \) \( |x| \lt 1 \)
\( \tan^{-1} x = \arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} +... \) \( |x| \lt 1 \)
\( \sinh^{-1} x = \text{arcsinh} \; x = x - \dfrac{1 x^3}{2\cdot3} + \dfrac{1 \cdot 3 x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5} - \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 x^7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} ... \) \( |x| \lt 1 \)
\( \tanh^{-1} x = \arctan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} +... \) \( |x| \lt 1 \)

Dérivées

\( f(x) \)	\( \dfrac{d f(x)}{dx} \)
\( x^n \)	\( n x^{n-1} \)
\( e^x \)	\( e^x \)
\( b^x \)	\( \ln b \cdot b^x \)
\( \ln x \)	\( \dfrac{1}{x} \)
\( \log_b x \)	\( \dfrac{1}{ x \ln b} \)
\( \sin x \)	\( \cos x \)
\( \cos x \)	\( - \sin x \)
\( \tan x \)	\( \sec^2 x \)
\( \cot x \)	\( - \csc^2 x \)
\( \sec x \)	\( \sec x \tan x \)
\( \csc x \)	\( - \csc x \cot x\)
\( \sin^{-1} x\)	\( \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \cos^{-1} x\)	\( - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \tan^{-1} x\)	\( \dfrac{1}{1+x^2} \)
\( \sinh x \)	\( \cosh x \)
\( \cosh x \)	\( \sinh x \)
\( \tanh x \)	\( \text{sech}^2 x \)
\( \coth x \)	\( - \text{csch}^2 x \)
\( \text{sech} \; x \)	\( -\text{sech} \; x \tanh x \)
\( \text{csch} \; x \)	\( - \text{csch} \; x \coth x\)
\( \sinh^{-1} x\)	\( \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} \)
\( \cosh^{-1} x\)	\( \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \)
\( \tanh^{-1} x\)	\( \dfrac{1}{1-x^2} \)
\( \coth^{-1} x\)	\( \dfrac{1}{1-x^2} \)

Intégrales indéfinies

Notez que dans tous les cas d'intégrales indéfinies, la constante d'intégration est omise ici mais doit être ajoutée chaque fois que nécessaire.

\( f(x) \)	\( \displaystyle \int f(x) dx \)
\( x^n \)	\( \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \)
\( \dfrac{1}{x} \)	\( \ln \|x\| \)
\( e^x \)	\( e^x \)
\( \ln x \)	\( x \ln x - x \)
\( \sin x \)	\( -\cos x \)
\( \cos x \)	\( \sin x \)
\( \tan x \)	\( -\ln \|\cos x\| \)
\( \cot x \)	\( \ln \|\sin x\| \)
\( \sec x \)	\( \ln( \sec x + \tan x ) \)
\( \csc x \)	\( \ln(\csc x - \cot x) \)
\( \sinh x \)	\( \cosh x \)
\( \cosh x \)	\( \sinh x \)
\( \tanh x \)	\( \ln( \cosh x) \)
\( \coth x \)	\( \ln( \sinh x) \)
\( \text{sech} \; x \)	\( 2 \tan^{-1}(e^x) \)
\( \text{csch} \; x \)	\( -\ln (\coth x + \text{csch}\; x) \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \)	\( \sin^{-1} \left(\dfrac{x}{a}\right) \; , \|x\| \lt a \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \)	\( - \cos^{-1} \left(\dfrac{x}{a}\right) \; , \|x\| \lt a \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \)	\( \ln(x+\sqrt{x^2 + a^2}) \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \)	\( \ln(x+\sqrt{x^2 - a^2}) \)
\( \dfrac{1}{x^2 + a^2} \)	\( \dfrac{1}{a} \tan^{-1} \left(\dfrac{x}{a} \right) \)
\( \dfrac{1}{x^2 - a^2} \)	\( \dfrac{1}{2 a} \ln \left(\dfrac{x-a}{x+a}\right) \)
\( \dfrac{1}{a^2 - x^2} \)	\( \dfrac{1}{2 a} \ln \left(\dfrac{a+x}{a-x}\right) \)

Analyse de Fourier (séries et transformations)

Série de Fourier Réelle

Si \( f(t) \) est une fonction périodique de période \( T \), alors on peut ecrire
\( \displaystyle f(t) = \dfrac{1}{2} a_0 + \sum_{m=1}^{\infty} a_m \cos \left(\dfrac{2 \pi m}{T} t\right) + \sum_{m=1}^{\infty} b_m \sin \left(\dfrac{2 \pi m}{T} t\right) \)

\( \displaystyle a_m = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos \left(\dfrac{2 \pi m}{T} t\right) dt \)

\( \displaystyle b_m = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin \left(\dfrac{2 \pi m}{T} t\right) dt \)

Série de Fourier complexe

\( j = \sqrt{-1} \) est l'unité imaginaire
Si \( f(t) \) est une fonction périodique de période \( T \), alors on peut ecrire
\( \displaystyle f(t) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} c_m \exp \left( j \dfrac{2 \pi m}{T} t \right) \)

\( \displaystyle c_m = \dfrac{1}{T} \int_0^T f(t) \exp \left( - j \dfrac{2 \pi m}{T} t\right) dt \)

Relation entre les coefficients réels et complexes

\( c_m = \dfrac{1}{2} (a_m - j b_m) , m \gt 0 \)
\( c_0 = \dfrac{1}{2} a_0 \)
\( c_m = \dfrac{1}{2} (a_{-m} + j b_{-m}) , m \lt 0 \)

Paire de transformées de Fourier

Si \( f(t) \) est défini dans la plage \( -\infty \lt t \lt +\infty \), alors la transformée de Fourier \( F(\omega) \) est définie par
\( \displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \exp \left( - j \omega t\right) dt \)
and
\( \displaystyle f(t) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) \exp \left( j \omega t\right) d\omega\)

Transformation de Laplace

Si \( f(t) \) est une fonction unilatérale telle que \( f(t) = 0 \) pour \( t \lt 0 \) alors la transformée de Laplace \( F(s) \) est définie par \[ F(s) = \int_{0-}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \] où \( s \) peut être un nombre complexe pour lequel l'intégrale impropre ci-dessus converge.

Fonction	Transformée
\( f(t) \)	\( F(s) \)
\( 1 \)	\( \dfrac{1}{s} \)
\( t^n \)	\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)
\( e^{-at} \)	\( \dfrac{1}{s+a} \)
\( t^n e^{-at} \)	\( \dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} \)
\( \sin \omega t \)	\( \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} \)
\( t \sin \omega t \)	\( \dfrac{2 \omega s}{(s^2+\omega^2)^2} \)
\( \cos \omega t \)	\( \dfrac{s}{s^2+\omega^2} \)
\( t \cos \omega t \)	\( \dfrac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2} \)
\( \sinh \omega t \)	\( \dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2} \)
\( \cosh \omega t \)	\( \dfrac{s }{s^2 - \omega^2} \)
\( \delta( t - \tau) \)	\( e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \)
\( H( t - \tau) \)	\( \dfrac{1}{s} e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \)

Note
1) \( \delta( t ) \) est la fonction delta de Dirac, également appelée fonction impulsion en ingénierie.
2) \( H( t) \) est la fonction de Heaviside.

Propriétés de la Transformée de Laplace

Dans ce qui suit, la fonction \( f(t) \) est écrite en minuscules et sa transformée correspondante en majuscules \( F(s) \)

Linearite
Si \( g(t) = a f_1(t) + b f_2(t) \), alors \( G(s) = a F_1(s) + b F_2(s) \) , \( a \) et \( b \) sont des constantes.
Translation en t
If \( g(t) = f(t - \tau) H( t - \tau) \), alors \( G(s) = e^{- s \tau} F(s) \) , \( \tau \ge 0 \)
La multiplication par une exponentielle dans \( t \) entraîne un décalage dans \( s \)
If \( g(t) = e^{-at} f(t) \), then \( G(s) = F(s + a) \) , \( a \ge 0 \)
Mutliplication de \( t \) par une constante
Si \( g(t) = f(k t) \), alors \( G(s) = \dfrac{1}{k} F(\dfrac{s}{k}) \)
Dérivée de \( F(s) \) par rapport à \( s \)
Si \( g(t) = t f(t) \), alors \( G(s) = - \dfrac{d F(s)}{d s} \)
Dérivée de \( f(t) \) par rapport à \( t \)
Si \( g(t) = \dfrac{df(t)}{dt} = f'(t)\), alors \( G(s) = s F(s) - f(0) \)
Dérivée seconde de \( f(t) \) par rapport à \( t \)
Si \( g(t) = \dfrac{df^2(t)}{dt^2} = f''(t)\), alors \( G(s) = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \)
\( n \) ème dérivée de \( f(t) \) par rapport à \( t \)
If \( g(t) = \dfrac{df^n(t)}{dt^n} = f^{(n)}(t)\),
then \( G(s) = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - ... - s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0) \)
Intégrale de \( f(t) \) par rapport à \( t \)
If \( \displaystyle g(t) = \int_0^t f(t') dt'\) , then \( G(s) = \dfrac{1}{s} F(s) \)
Intégrale de convolution
If \( \displaystyle g(t) = \int_0^t f_1(t')f_2(t-t') dt'\), then \( G(s) = F_1(s) F_2(s) \)

Déterminants des matrices

Déterminant d'une matrice 2 par 2

Soit A une matrice 2 par 2
\( A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{bmatrix} \)
Le déterminant de la matrice \( A \) est noté \( |A| \) et donné par
\( |A| = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \)

Déterminant d'une matrice 3 par 3

Soit une matrice 3 par 3 \( A \) donnée par
\( A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{bmatrix} \)
Le déterminant de la matrice \( A \) est donné par
\( |A| = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} = a_1 \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix} \)
Il existe de nombreuses autres formes pour le déterminant des matrices \( n \times n \) pour \( n \gt 2 \).

Vecteurs

Produit scalaire

\( \vec a \) et \( \vec b \) sont des vecteurs donnés par leurs composantes comme suit
\( \vec a = \lt a_1, a_2 , a_3 \gt \) et \( \vec b = \lt b_1, b_2 , b_3 \gt \)
Le produit scalaire des vecteurs \( \vec a \) et \( \vec b \) est défini par
\( \vec a \cdot \vec b = || \vec a || \; || \vec b || \cos \theta = \sum_{i=1}^{3} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)
où \( \theta \) est l'angle entre les vecteurs \( \vec a \) et \( \vec b \) et \( || \vec a || \) et \( || \vec b || \) sont leurs magnitudes.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel des vecteurs \( \vec a \) et \( \vec b \) est défini par
\( \vec a \times \vec b = || \vec a || \; || \vec b || \sin \theta \; \vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} \)

\( \quad \quad = \vec i \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} - \vec j \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \\ \end{vmatrix} + \vec k \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{vmatrix} \)

\( \quad \quad = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec i - (a_1 b_3 - a_3 b_1) \vec j + (a_1b_2 - a_2 b_1) \vec k \)
\( \vec n \) est un vecteur unitaire perpendiculaire aux vecteurs \( \vec a \) et \( \vec b \), de telle sorte que \( \vec a \), \( \vec b \) et \( \vec n \) forment un ensemble de vecteurs à main droite.

Produit Mixte de Trois Vecteurs

Le produit mixte de \( \vec a \), \( \vec b \) and \( \vec c \) est defini par
\( (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \)
\( \quad \quad = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} \)

\( = a_1 \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix} \)
\( = a_1( b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_2 (b_1 c_3 -b_3 c_1) + a_3 (b_1 c_2 - b_2 c_1) \)

Double Produit Vectoriel de Trois Vecteurs

\( \vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c) \vec b - (\vec a \cdot \vec b) \vec c \)

Calcul vectoriel

L'opérateur "del" (\( \nabla \)) est défini en termes de dérivées partielles comme suit
\( \nabla = \left( \dfrac{\partial }{\partial x} , \dfrac{\partial }{\partial y} , \dfrac{\partial }{\partial z} \right) \)

Gradient

Si \( \psi \) est une fonction des variables \( x , y \) et \( z \), le gradient est un vecteur défini par
\( \text{grad} \psi = \nabla \psi = \left(\dfrac{\partial \psi}{\partial x},\dfrac{\partial \psi }{\partial y},\dfrac{\partial \psi}{\partial z}\right) \)

Divergence

Si \( \left( v_1(x,y,z) , v_2(x,y,z) , v_3(x,y,z) \right) \) sont les composantes du vecteur \( \vec v \), la divergence du vecteur \( \vec v \) est un scalaire défini par
\( \text{div} \; \vec v = \nabla \cdot \vec v = \dfrac{\partial v_1}{\partial x} + \dfrac{\partial v_2 }{\partial y} + \dfrac{\partial v_3}{\partial z} \)

Rotationnel

Si \( \left( v_1(x,y,z) , v_2(x,y,z) , v_3(x,y,z) \right) \) sont les composantes du vecteur \( \vec v \), le rotationnel du vecteur \( \vec v \) est un vecteur défini par
\( \text{curl} \; \vec v = \nabla \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j &\vec k\\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ \end{vmatrix} \)

\( = \left(\dfrac{\partial v_3}{\partial y} - \dfrac{\partial v_2}{\partial z}\right) \vec i - \left(\dfrac{\partial v_3}{\partial x} - \dfrac{\partial v_1}{\partial z}\right) \vec j + \left(\dfrac{\partial v_2}{\partial x} - \dfrac{\partial v_1}{\partial y}\right) \vec k \)

Laplacien pour un scalaire

Si \( \psi \) est une fonction des variables \( x , y \) et \( z \), le laplacien de \( \psi \) est un scalaire défini par
\( \nabla^2 \psi = \text{div} \; \text{grad} \; \psi = \nabla \cdot \nabla \psi = \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \)

Laplacien pour un vecteur

Si \( \left( v_1(x,y,z) , v_2(x,y,z) , v_3(x,y,z) \right) \) sont les composantes du vecteur \( \vec v \), le Laplacien du vecteur \( \vec v \) est un vecteur défini par
\( \nabla^2 \vec v = \text{grad} \; \text{div} \; \vec v - \text{curl} \; \text{curl} \; \vec v = \nabla (\nabla \cdot \vec v) - \nabla \times (\nabla \times \vec v) \)
\( \quad = \nabla^2 v_1 \vec i + \nabla^2 v_2 \vec j + \nabla^2 v_3 \vec k \)
\( \quad = (\dfrac{\partial^2 v_1}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 v_1}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 v_1}{\partial z^2}) \vec i \)
\( \quad \quad +(\dfrac{\partial^2 v_2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 v_2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 v_2}{\partial z^2}) \vec j \)
\( \quad \quad \quad \quad + (\dfrac{\partial^2 v_3}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 v_3}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 v_3}{\partial z^2}) \vec k \)

Identités

Dans ce qui suit, \( \psi \) est une fonction et \( \vec v \) est un vecteur.
\( \text{div} \; \text{curl} \; \vec v = \nabla \cdot (\nabla \times \vec v) = 0 \)
\( \text{curl} \; \text{grad} \; \psi = \nabla \times (\nabla \; \psi) = 0 \)

Gradient, Divergence et Rotationnel du Produit

Dans ce qui suit, \( \psi \) et \( \phi \) sont des fonctions et \( \vec v \) est un vecteur.
\( \text{grad} \; (\psi \phi) = \psi \; (\nabla \phi) + \phi \; (\nabla \psi) \)
\( \text{div} \; (\psi \vec v) = \psi \; (\nabla \cdot \vec v) + \vec v \cdot (\nabla\psi) \)
\( \text{curl} \; (\psi \vec v) = \psi \; ( \nabla \times \vec v) + \nabla \psi \times \vec v \)
\( \text{grad} \; (\vec u \cdot \vec v) = \vec u \times (\nabla \times \vec v) + \vec v \times (\nabla \times \vec u)+ (\vec u \cdot \nabla) \vec v + (\vec v \cdot \nabla ) \vec u\)
\( \text{div} \; (\vec u \times \vec v) = (\nabla \times \vec u) \cdot \vec v - (\nabla \times \vec v) \cdot \vec u \)
\( \text{curl} \; (\vec u \times \vec v ) = \vec u (\nabla \cdot \vec v) - \vec v (\nabla \cdot \vec u) + (\vec v \cdot \nabla) \vec u - (\vec u \cdot \nabla) \vec v \)
Remarques
Dans les formules ci-dessus, \( \vec u \cdot \nabla \) peut être considéré comme un opérateur scalaire et est donné par
\( \vec u \cdot \nabla = u_1 \dfrac{\partial }{\partial x} + u_2 \dfrac{\partial }{\partial y} + u_3 \dfrac{\partial }{\partial z}\ \)
S'il est appliqué à une fonction scalaire \( f \), il donne un scalaire
\( (\vec u \cdot \nabla) f = u_1 \dfrac{\partial f}{\partial x} + u_2 \dfrac{\partial f}{\partial y} + u_3 \dfrac{\partial f}{\partial z}\ \)
S'il est appliqué à une fonction vectorielle \( \vec v \), il donne un vecteur
\( (\vec u \cdot \nabla) \vec v = (\vec u \cdot \nabla) v_1 \vec i + (\vec u \cdot \nabla) v_2 \vec j + (\vec u \cdot \nabla) v_3 \vec k \)
\( \quad = ( u_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial x} + u_2 \dfrac{\partial v_1}{\partial y} + u_3 \dfrac{\partial v_1}{\partial z}\ ) \vec i \)
\( \quad\quad + ( u_1 \dfrac{\partial v_2}{\partial x} + u_2 \dfrac{\partial v_2}{\partial y} + u_3 \dfrac{\partial v_2}{\partial z}\ ) \vec j \)
\( \quad\quad\quad + ( u_1 \dfrac{\partial v_3}{\partial x} + u_2 \dfrac{\partial v_3}{\partial y} + u_3 \dfrac{\partial v_3}{\partial z}\ ) \vec k \)

Méthodes numériques

Dans ce qui suit, \( f_m = f(x_m) \). Exemples \( f_0 = f(x_0) \) , \( f_1 = f(x_1) \) , \( f_2 = f(x_2) \) ...
\( h = \dfrac{x_m - x_0}{m} \)

numerical integration of functions

Règle du trapèze d'intégration

\( \displaystyle \int_{x_0}^{x_m} f(x) dx = h \left( \dfrac{f_0}{2} + f_1 + f_2 + f_3 + ... + f_{m-1}+\dfrac{f_m}{2}\right) \)

Règle de Simpson pour l'intégration

Le nombre d'intervalles doit être pair et est pris comme \( 2 m\)
\( \displaystyle \int_{x_0}^{x_{2m}} f(x) dx = \dfrac{h}{3} \left[ f_0 + 4( f_1 + f_3 + f_5 + ...) + 2 ( f_2 + f_4 +f_6 + .... )+ f_{2m} \right] \)

Méthode d'Euler pour les équations différentielles

\( y' = f(x,y) \)
\( y_{n+1} = y_n + h f(x_n , y_n) \)

Méthode de Runge-Kutta d'ordre deux pour les équations différentielles

\( y' = f(x,y) \)
\( y_{n+1} = y_n + \dfrac{1}{2} (k_1 + k_2)\)
where
\( k_1 = h f(x_n , y_n) \)
\( k_2 = h f(x_n+h , y_n+k_1) \)